Proportions, pourcentages et évolutions

Proportions et proportionnalité

Tu as longuement manipulé la proportionnalité au collège : si 1 kg de tomates coûte 8 dh, alors 3 kg coûtent 24 dh. En Seconde, on précise le vocabulaire et on l'étend à des situations de partage où plusieurs parts doivent respecter un rapport imposé.

L'égalité ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ équivaut à l'égalité des produits en croix $a\times d=b\times c$. C'est exactement le produit en croix que tu utilisais en 5ᵉ, écrit cette fois avec des lettres : c'est lui qui permet de retrouver n'importe quel terme manquant.

Exemple 1. Au marché, 4 kg d'oranges coûtent 36 dh. Combien coûtent 7 kg, au même tarif ? On pose la proportion ${\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{7}{x}}$. Le produit en croix donne $4\times x=36\times 7$, soit $4x=252$, donc $x=63$ dh. Le terme inconnu $x$ s'appelle la quatrième proportionnelle : trois valeurs connues, une cherchée.

La répartition proportionnelle

Une situation nouvelle en Seconde : on dispose d'une quantité totale à partager entre plusieurs personnes, non pas en parts égales, mais proportionnellement à des poids donnés.

Exemple 2. Yasmine, Amine et Karim ont monté un petit stand au souk et gagné 900 dh. Ils décident de partager proportionnellement au temps passé : Yasmine y a travaillé 5 h, Amine 3 h, Karim 1 h. Le total des poids est $5+3+1=9$, donc $k={\displaystyle \frac{900}{9}}=100$ dh par heure. Les parts sont alors $5\times 100=500$ dh, $3\times 100=300$ dh et $1\times 100=100$ dh. Vérification indispensable : $500+300+100=900$ dh. La somme des parts redonne bien le total — sinon, une erreur s'est glissée.

Le piège de la fausse proportionnalité

Toutes les situations « avec des nombres qui montent ensemble » ne sont pas proportionnelles. Si Amine paie un abonnement de tramway de 150 dh par mois plus 6 dh par trajet supplémentaire, le coût total n'est pas proportionnel au nombre de trajets : à 0 trajet, il paie déjà 150 dh, alors qu'une grandeur proportionnelle vaut 0 quand l'autre vaut 0. Avant d'écrire une proportion, vérifie toujours que « à zéro correspond zéro ».

Pourcentages et pourcentage de pourcentage

Un pourcentage n'est qu'une proportion dont le dénominateur est imposé à 100. C'est sa forme la plus utile au quotidien, parce qu'elle rend deux situations immédiatement comparables.

Exemple 1. La TVA marocaine standard est de 20 %. Sur un article hors taxe à 250 dh, le montant de la TVA est $250\times {\displaystyle \frac{20}{100}}=50$ dh. Le prix toutes taxes comprises est donc $250+50=300$ dh.

Exemple 2. Dans le sens inverse, un pourcentage exprime une part. Sur les 900 dh gagnés au stand, Yasmine a touché 500 dh. Quelle proportion cela représente-t-il ? On calcule ${\displaystyle \frac{500}{900}}\times 100\approx \mathrm{55,6}\mathrm{\%}$. Pour passer d'une part à un pourcentage, on divise la part par le total et on multiplie par 100.

Le pourcentage d'un pourcentage

Voici une opération qui déroute souvent : prendre un pourcentage d'une quantité elle-même déjà exprimée en pourcentage. Loin d'être un piège artificiel, c'est le calcul de base de toute statistique.

Exemple 3. Dans le lycée de Salma, 40 % des élèves sont en filière scientifique, et parmi ces scientifiques, 25 % choisissent l'option mathématiques renforcées. Quelle proportion de l'ensemble du lycée cela représente-t-il ? On calcule ${\displaystyle \frac{25}{100}}\times {\displaystyle \frac{40}{100}}={\displaystyle \frac{10}{100}}=10\mathrm{\%}$. Donc 10 % de tous les élèves du lycée suivent cette option — et non 25 %, qui ne concerne que la sous-population des scientifiques.

Le piège du point de pourcentage

Salma lit dans un journal : « le taux de réussite au bac est passé de 60 % à 66 % ». Elle en conclut « il a augmenté de 6 % ». C'est imprécis. Il a augmenté de 6 points de pourcentage (la différence $66-60$). En pourcentage relatif, l'augmentation est ${\displaystyle \frac{66-60}{60}}\times 100=10\mathrm{\%}$. Un point de pourcentage est une différence entre deux pourcentages ; un pourcentage d'évolution est un rapport. Confondre les deux fausse toute interprétation.

Coefficient multiplicateur et évolutions

Voici le tournant du chapitre. Au collège, pour augmenter 200 dh de 15 %, tu calculais la hausse ($200\times \mathrm{0,15}=30$ dh) puis tu l'ajoutais ($200+30=230$ dh) — deux opérations. On va apprendre à le faire en une seule multiplication, et c'est ce changement de méthode qui ouvre tout le reste.

L'idée : augmenter de 15 %, c'est garder les 100 % de départ et ajouter 15 %, donc obtenir 115 % de la valeur initiale, c'est-à-dire la multiplier par ${\displaystyle \frac{115}{100}}=\mathrm{1,15}$.

Exemple 1. Un loyer de 4 500 dh augmente de 8 %. Le coefficient multiplicateur est $1+{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{1,08}$. Le nouveau loyer est $4500\times \mathrm{1,08}=4860$ dh, en une seule opération.

Exemple 2. Au souk, une djellaba à 600 dh est soldée de 20 %. Le coefficient multiplicateur est $1-{\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,80}$. Le prix soldé est $600\times \mathrm{0,80}=480$ dh. Remarque le réflexe à acquérir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient entre 0 et 1 signale une baisse.

Passer du coefficient au taux, et réciproquement

Le lien entre taux et coefficient se lit dans les deux sens, ce qui est précisément ce qui rend l'outil puissant.

Exemple 3. Le prix d'un billet de tramway passe d'une année sur l'autre avec un coefficient multiplicateur de $\mathrm{1,06}$. Le taux d'évolution est $(\mathrm{1,06}-1)\times 100=6\mathrm{\%}$ : une hausse de 6 %.

Exemple 4. Karim observe un coefficient de $\mathrm{0,75}$ sur un article. Le taux est $(\mathrm{0,75}-1)\times 100=-25\mathrm{\%}$ : une baisse de 25 %. Le coefficient $\mathrm{0,75}$ correspond bien à « il reste 75 % du prix », donc on a retiré 25 %.

Le piège du coefficient d'une baisse

L'erreur la plus tenace : croire qu'une baisse de 30 % se traduit par un coefficient $\mathrm{0,30}$. Non. Le coefficient $\mathrm{0,30}$ voudrait dire qu'il ne reste que 30 % de la valeur, soit une baisse de 70 %. Une baisse de 30 % laisse subsister $100-30=70\mathrm{\%}$, donc le coefficient est $\mathrm{0,70}$. Toujours raisonner « combien reste-t-il ? » pour une baisse.

Évolutions successives et réciproques

Tout l'intérêt du coefficient multiplicateur se révèle quand les évolutions s'enchaînent. Là où l'addition des pourcentages échoue, la multiplication des coefficients fonctionne sans faute.

Exemple 1. Reprenons la djellaba de l'introduction, à 600 dh. Baisse de 20 % (coefficient $\mathrm{0,80}$), puis hausse de 20 % (coefficient $\mathrm{1,20}$). Le coefficient global est $\mathrm{0,80}\times \mathrm{1,20}=\mathrm{0,96}$. Le prix final est $600\times \mathrm{0,96}=576$ dh. On n'est pas revenu à 600 dh : Karim avait tort. Le coefficient global $\mathrm{0,96}$ correspond à un taux $(\mathrm{0,96}-1)\times 100=-4\mathrm{\%}$, soit une baisse globale de 4 %. La raison profonde : la baisse de 20 % s'applique à 600 dh, mais la hausse de 20 % s'applique à 480 dh, une base plus petite. Les taux portent sur des bases différentes, donc on ne les additionne pas.

L'évolution réciproque

Si une quantité a évolué et qu'on veut revenir exactement à sa valeur de départ, quelle évolution faut-il appliquer ?

Exemple 2. Le prix d'un produit a augmenté de 25 % (coefficient $\mathrm{1,25}$). Pour revenir au prix initial, le coefficient réciproque est ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,25}}}=\mathrm{0,80}$, soit une baisse de 20 %. Retiens bien ce résultat contre-intuitif : l'évolution réciproque d'une hausse de 25 % n'est pas une baisse de 25 %, mais une baisse de 20 %. Une baisse de 25 % donnerait $\mathrm{1,25}\times \mathrm{0,75}=\mathrm{0,9375}\mathrm{\ne }1$, on ne reviendrait pas au départ.

Le taux d'évolution moyen

Quand une même évolution se répète, on peut chercher le taux unique qui, appliqué plusieurs fois, produit le même résultat global.

Le calcul exact de ce coefficient demande une racine $n$-ième, ${\text{CM}}_{\text{moyen}}=\sqrt[n]{{\text{CM}}_{\text{global}}}$, un outil que tu manipuleras pleinement en Première et Terminale. En Seconde, on se contente le plus souvent de vérifier qu'un taux moyen proposé convient, ou de le calculer quand $n=2$ donne un cas simple.

Exemple 3. Sur deux ans, un loyer subit deux hausses identiques et passe au total d'un coefficient global de $\mathrm{1,21}$. Karim propose : « le taux moyen annuel est donc de 10 % ». Vérifie : un coefficient annuel de $\mathrm{1,10}$ appliqué deux fois donne $\mathrm{1,10}\times \mathrm{1,10}=\mathrm{1,21}$. C'est correct, Karim a raison ici. Mais attention : la moitié de 21 %, soit 10,5 %, aurait été le mauvais réflexe. Le bon taux moyen (10 %) n'est pas la moitié du taux global (21 %).

Le piège de l'addition des taux

L'erreur reine de ce chapitre : remplacer une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % par « $+20-20=0\mathrm{\%}$, donc rien ne change ». Faux, comme on l'a vu : le résultat réel est une baisse de 4 %. Les taux ne s'additionnent jamais ; ce sont les coefficients qui se multiplient. Dès qu'il y a plusieurs évolutions, passe systématiquement par les coefficients.

Pièges classiques

Piège 1 : croire que +20 % puis −20 % ramène au prix de départ. Une hausse de 20 % a pour coefficient $\mathrm{1,20}$, une baisse de 20 % a pour coefficient $\mathrm{0,80}$. Le global est $\mathrm{1,20}\times \mathrm{0,80}=\mathrm{0,96}$, soit une baisse de 4 %. On ne revient jamais au point de départ, parce que la seconde évolution s'applique à une base différente de la première.

Piège 2 : additionner des taux d'évolutions successives. « +10 % puis +5 %, ça fait +15 % » est faux. Les coefficients donnent $\mathrm{1,10}\times \mathrm{1,05}=\mathrm{1,155}$, soit +15,5 %. L'écart vient du fait que les 5 % s'appliquent à une quantité déjà augmentée. On multiplie les coefficients, on n'additionne pas les taux.

Piège 3 : prendre un pourcentage de pourcentage en additionnant. 40 % des élèves sont scientifiques, et 25 % d'entre eux prennent l'option maths : cela ne fait ni 65 % ni 25 % du lycée, mais ${\displaystyle \frac{40}{100}}\times {\displaystyle \frac{25}{100}}=10\mathrm{\%}$. Un pourcentage de pourcentage se calcule en multipliant les deux proportions.

Piège 4 : confondre point de pourcentage et pourcentage d'évolution. Passer de 60 % à 66 %, c'est +6 points de pourcentage, mais une hausse relative de ${\displaystyle \frac{66-60}{60}}\times 100=10\mathrm{\%}$. Un point de pourcentage est une différence entre deux pourcentages ; un pourcentage d'évolution est un rapport entre la variation et la valeur de départ.

Piège 5 : croire que l'évolution réciproque d'une hausse de t % est une baisse de t %. Pour annuler une hausse de 25 % (coefficient $\mathrm{1,25}$), il faut une baisse de 20 % (coefficient ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,25}}}=\mathrm{0,80}$), pas une baisse de 25 %. L'évolution réciproque a pour coefficient l'inverse, et l'inverse d'un coefficient ne se lit pas en changeant simplement le signe du taux.

Piège 6 : prendre la moitié du taux global comme taux moyen. Sur deux périodes avec un coefficient global de $\mathrm{1,21}$ (soit +21 %), le taux moyen n'est pas ${\displaystyle \frac{21}{2}}=\mathrm{10,5}\mathrm{\%}$, mais 10 %, car ${\mathrm{1,10}}^2=\mathrm{1,21}$. Le taux moyen se trouve par la racine du coefficient global, jamais par une division du taux.

Application concrète

Amine suit le prix d'un téléphone repéré dans une boutique du centre de Casablanca, affiché hors taxe à 2 500 dh. Il veut comprendre exactement ce qu'il paiera et juger les promotions annoncées, sans se laisser piéger par les pourcentages.

Étape 1 — Appliquer la TVA. Le prix affiché est hors taxe ; la TVA marocaine de 20 % s'ajoute à la caisse. Coefficient multiplicateur de cette hausse : $1+{\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{1,20}$. Prix toutes taxes comprises : $2500\times \mathrm{1,20}=3000$ dh. C'est le vrai prix de référence.

Étape 2 — La promotion de lancement. La boutique solde le téléphone de 15 % pendant une semaine. Coefficient de la baisse : $1-{\displaystyle \frac{15}{100}}=\mathrm{0,85}$. Prix soldé : $3000\times \mathrm{0,85}=2550$ dh.

Étape 3 — La hausse après la promotion. Amine hésite, la semaine passe, la promotion se termine et le prix remonte de 15 % par rapport au prix soldé. Karim affirme : « tu retombes sur 3 000 dh, la promo n'a rien changé ». Vérifions avec les coefficients. Le coefficient global depuis le prix soldé est $\mathrm{0,85}\times \mathrm{1,15}=\mathrm{0,9775}$. Appliqué aux 3 000 dh de départ : $3000\times \mathrm{0,9775}=2\mathrm{932,50}$ dh. Le prix final n'est pas 3 000 dh : il est inférieur de $(\mathrm{0,9775}-1)\times 100=-\mathrm{2,25}\mathrm{\%}$, soit une baisse globale de 2,25 %. Karim s'est encore trompé en croyant que −15 % puis +15 % s'annulent.

Étape 4 — Revenir au prix soldé. Amine se demande quelle baisse il faudrait négocier après cette remontée pour retrouver le prix soldé de 2 550 dh. La remontée avait pour coefficient $\mathrm{1,15}$ ; l'évolution réciproque a pour coefficient ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,15}}}\approx \mathrm{0,8696}$, soit une baisse d'environ $(\mathrm{0,8696}-1)\times 100\approx -\mathrm{13,0}\mathrm{\%}$. Une baisse de 13 % environ, et non de 15 % : l'évolution réciproque d'une hausse de 15 % n'est pas une baisse de 15 %.

Étape 5 — Le bilan global. Récapitulons toute la chaîne depuis le prix hors taxe initial, en multipliant tous les coefficients : $2500\times \underset{\text{TVA}}{\underbrace{\mathrm{1,20}}}\times \underset{\text{promo}}{\underbrace{\mathrm{0,85}}}\times \underset{\text{remont}\acute{\text{e}}\text{e}}{\underbrace{\mathrm{1,15}}}=2500\times \mathrm{1,173}=2\mathrm{932,50}\text{ dh}\mathrm{.}$ Le coefficient multiplicateur global de toute l'histoire est $\mathrm{1,20}\times \mathrm{0,85}\times \mathrm{1,15}=\mathrm{1,173}$, soit une hausse globale de 17,3 % par rapport au prix hors taxe — l'effet de la TVA, partiellement compensé par le jeu des promotions.

Conclusion. En représentant chaque étape par un coefficient et en les multipliant, Amine a tranché chaque question sans jamais additionner de pourcentages, et a démonté deux fois le raisonnement de Karim. Cette mécanique — un coefficient par évolution, un produit pour les composer — est exactement celle des suites géométriques que tu étudieras en Première et Terminale, et le langage de toute l'économie quand elle parle de croissance, d'inflation ou d'intérêts composés.

À retenir