Calcul littéral, puissances et racines

Développer et factoriser

Tout le calcul littéral oscille entre deux gestes inverses. Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est l'opération réciproque : transformer une somme en produit. Tu sais déjà développer ; le geste qui fait la différence en Seconde, c'est de savoir factoriser vite et juste.

Propriété (distributivité). Pour tous nombres $a$, $b$, $c$, $d$ :

$a(b+c)=ab+ac(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

La double distributivité se lit ainsi : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Exemple 1. Développe $(2x+3)(x-5)$.

$(2x+3)(x-5)=2x\times x+2x\times (-5)+3\times x+3\times (-5)$

$=2x^2-10x+3x-15=2x^2-7x-15$

Exemple 2. Le signe « moins » devant une parenthèse change le signe de chaque terme intérieur :

$5-(2x-7)=5-2x+7=-2x+12$

Factoriser par facteur commun

Factoriser, c'est repérer ce qui est commun à tous les termes et le mettre en facteur. Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière.

Exemple 3. Dans $6x^2+15x$, les deux termes sont divisibles par $3x$ :

$6x^2+15x=3x\times 2x+3x\times 5=3x(2x+5)$

Exemple 4. Quand le facteur commun est une parenthèse, le réflexe est le même. Dans

$(x+4)(2x-1)+(x+4)(x+3),$

le facteur commun est $(x+4)$ :

$(x+4)[(2x-1)+(x+3)]=(x+4)(3x+2)\mathrm{.}$

Le piège du facteur commun caché

Karim veut factoriser $(2x-5)(x+1)-(2x-5)$ et bloque, croyant qu'il n'y a pas de facteur commun au second terme. Faux : $(2x-5)$ vaut $(2x-5)\times 1$. Le facteur commun est bien $(2x-5)$, et

$(2x-5)(x+1)-(2x-5)=(2x-5)[(x+1)-1]=(2x-5)\times x=x(2x-5)\mathrm{.}$

Quand un terme « est » le facteur commun tout seul, il laisse un $1$ dans la parenthèse, jamais un vide.

Identités remarquables

Trois égalités reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur pour ne plus jamais les redévelopper. Tu les connais depuis la 3e ; en Seconde, tu dois les reconnaître instantanément, dans les deux sens.

Le premier carré se lit géométriquement : un carré de côté $a+b$ se découpe en un carré $a^2$, un carré $b^2$ et deux rectangles $ab$. Le double produit $2ab$ n'est pas un détail, c'est l'aire des deux rectangles.

Exemple 1 (développer). $(3x+2{)}^2=(3x{)}^2+2\times 3x\times 2+2^2=9x^2+12x+4$.

Exemple 2 (développer). $(x-5)(x+5)=x^2-5^2=x^2-25$.

Factoriser avec une identité remarquable

Lue de droite à gauche, chaque identité devient un outil de factorisation. C'est là que réside l'enjeu de la Seconde, et le cœur du second degré l'an prochain.

Exemple 3 (différence de deux carrés). Factorise $9x^2-16$.

$9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x-4)(3x+4)\mathrm{.}$

Exemple 4 (carré parfait). Factorise $x^2+6x+9$. On reconnaît $a=x$, $b=3$, et le double produit $2ab=6x$ colle :

$x^2+6x+9=(x+3{)}^2\mathrm{.}$

Le piège du double produit

Salma écrit $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ et oublie le terme central. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le développement correct comporte trois termes :

$(x+4{)}^2=x^2+8x+16,\text{et non}{x}^2+16.$

Vérifie avec des nombres si tu doutes : $(2+3{)}^2=25$, alors que $2^2+3^2=13$. Les deux ne sont pas égaux, donc le double produit existe bel et bien.

Puissances et règles de calcul

Une puissance abrège une multiplication répétée. Tu as posé ces bases en 4e ; en Seconde, on étend proprement aux exposants négatifs et on fixe les règles de calcul comme des automatismes.

L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il signifie « inverse ». Ainsi $2^{-3}={\displaystyle \frac{1}{2^3}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$, un nombre positif.

Exemple 1. $a^5\times a^{-2}=a^{5+(-2)}=a^3$.

Exemple 2. ${\displaystyle \frac{a^3}{a^7}}=a^{3-7}=a^{-4}={\displaystyle \frac{1}{a^4}}$.

Exemple 3. ${\left(a^4\right)}^{-2}=a^{4\times (-2)}=a^{-8}={\displaystyle \frac{1}{a^8}}$.

Puissances de 10 et notation scientifique

Les puissances de $10$ structurent l'écriture des très grands et très petits nombres. Pour $n\ge 1$, ${10}^n$ est un $1$ suivi de $n$ zéros, et ${10}^{-n}={\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}$ est un nombre décimal avec $n$ chiffres après la virgule.

Exemple 4. La population de Casablanca avoisine $3400000$ habitants, soit $\mathrm{3,4}\times {10}^6$.

Exemple 5. Le diamètre d'un cheveu, environ $\mathrm{0,00008}$ m, s'écrit $8\times {10}^{-5}$ m.

Le piège de l'exposant négatif

Amine croit que ${10}^{-3}=-1000$. Faux : un exposant négatif ne produit jamais un nombre négatif, il produit l'inverse. ${10}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}=\mathrm{0,001}$, un petit nombre positif. De même, $5^{-2}={\displaystyle \frac{1}{25}}$, pas $-25$ ni $-10$.

Racines carrées

La racine carrée répond à une question simple : quel nombre positif, élevé au carré, donne $a$ ?

On ne définit pas $\sqrt{a}$ pour $a<0$ : aucun carré n'est négatif. Et $\sqrt{a}$ est toujours positive, par convention.

Exemple 1. $\sqrt{25}=5$ car $5^2=25$. $\sqrt{0}=0$. $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ (un nombre qui n'est pas décimal).

Une conséquence importante du « positif » de la définition :

Ainsi $\sqrt{(-7{)}^2}=\sqrt{49}=7=\mathrm{\mid }-7\mathrm{\mid }$, et non $-7$. La racine d'un carré « efface le carré » mais rend toujours un résultat positif.

Manipuler les racines : produit et simplification

Cette règle vaut pour le produit et le quotient — jamais pour une somme. Elle sert à simplifier une racine en sortant les carrés parfaits.

Exemple 2. $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Exemple 3. $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$.

Une fois les racines simplifiées sous la même forme, on peut additionner comme des termes semblables :

Exemple 4 (somme de radicaux).

$\sqrt{50}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}\mathrm{.}$

On additionne $\sqrt{2}$ avec $\sqrt{2}$ comme on additionnerait $5x+3x=8x$ : ce sont les mêmes « objets ». On évoquera l'an prochain comment supprimer une racine d'un dénominateur (la rationalisation) ; ce n'est pas l'objet de la Seconde.

Le piège de la racine d'une somme

Karim écrit $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. C'est faux, et le contre-exemple est imparable :

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,\text{mais}\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.$

La racine se distribue sur un produit, jamais sur une somme. Aucune simplification ne s'applique à $\sqrt{a+b}$.

Expressions fractionnaires simples

Une expression fractionnaire est un quotient dont le dénominateur contient une lettre. La première question à se poser n'est pas « comment calculer », mais « pour quelles valeurs cela a-t-il un sens ».

Exemple 1. Dans ${\displaystyle \frac{x+1}{x-3}}$, le dénominateur s'annule pour $x=3$. La valeur interdite est $x=3$ ; l'expression est définie pour tout $x\mathrm{\ne }3$.

Exemple 2. Dans ${\displaystyle \frac{5}{2x}}$, le dénominateur s'annule pour $x=0$ : valeur interdite $x=0$.

Réduire au même dénominateur et simplifier

Exemple 3 (même dénominateur). Pour $x\mathrm{\ne }0$ :

${\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3\times 5}{5x}}+{\displaystyle \frac{2\times x}{5x}}={\displaystyle \frac{15+2x}{5x}}\mathrm{.}$

Exemple 4 (simplifier un quotient). Pour $x\mathrm{\ne }-3$ :

${\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}}=x-3.$

Remarque comme la factorisation par identité remarquable de la leçon 2 sert directement ici : sans elle, pas de simplification possible. C'est tout le programme du chapitre qui se rejoint sur une seule ligne.

Le piège de la simplification sauvage

Salma simplifie ${\displaystyle \frac{x+2}{x}}$ en barrant les $x$ pour écrire ${\displaystyle \frac{2}{1}}=2$. C'est faux : on ne simplifie que des facteurs d'un produit, jamais des termes d'une somme. Au numérateur, $x+2$ est une somme, pas un produit ; il n'y a aucun facteur $x$ à barrer. L'expression ${\displaystyle \frac{x+2}{x}}$ ne se simplifie pas.

Pièges classiques

1. Croire que $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. C'est l'erreur reine du chapitre. Le double produit $2ab$ manque. $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$, et le contre-exemple numérique tranche : $(2+3{)}^2=25\mathrm{\ne }{2}^2+3^2=13$.

2. Croire que $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. La racine se distribue sur un produit, pas sur une somme. $\sqrt{9+16}=5$, alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

3. Mal interpréter $a^{-n}$. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il donne l'inverse. $2^{-3}={\displaystyle \frac{1}{8}}$, pas $-8$. De même ${10}^{-3}=\mathrm{0,001}$, un petit nombre positif.

4. Oublier les valeurs interdites. Avant toute manipulation de ${\displaystyle \frac{x+1}{x-3}}$, il faut exclure $x=3$. Une expression fractionnaire sans son ensemble de définition est incomplète.

5. Confondre $\sqrt{a^2}$ et $a$. $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$, pas $a$. Pour $a=-7$ : $\sqrt{(-7{)}^2}=7$, pas $-7$. La racine carrée renvoie toujours un résultat positif.

6. Simplifier des termes au lieu de facteurs. Dans ${\displaystyle \frac{x+2}{x}}$, on ne barre pas les $x$ : $x+2$ est une somme. On ne simplifie qu'un facteur commun à un produit, comme dans ${\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}}=x-3$.

Application concrète

Yasmine aménage une terrasse carrée dans la maison familiale à Marrakech. Le carré mesure $x$ mètres de côté. Plutôt que de garder ce carré, elle envisage de le redécouper en un rectangle : raccourcir un côté de $3$ m pour dégager un passage, et prolonger le côté perpendiculaire de $3$ m côté jardin. Elle veut tout exprimer littéralement pour pouvoir choisir $x$ ensuite.

Étape 1 — Exprimer l'aire du rectangle (développer). La terrasse de départ a une aire de $x^2$ m². Le rectangle redécoupé mesure $(x-3)$ m sur un côté et $(x+3)$ m sur l'autre. Son aire vaut

$(x-3)(x+3)=x^2-9.$

L'aire du rectangle est donc inférieure d'exactement $9$ m² à l'aire du carré initial, quelle que soit la valeur de $x$ : raccourcir d'un côté et rallonger de l'autre de la même longueur ne se compense pas, on perd toujours $9$ m². C'est une différence de deux carrés, identité de la leçon 2.

Étape 2 — Comparer deux carrés (identité remarquable). Yasmine hésite avec une autre disposition, un carré agrandi de côté $(x+3)$, d'aire

$(x+3{)}^2=x^2+6x+9.$

L'écart avec la terrasse initiale est $6x+9$ m². Le double produit $6x$ croît avec $x$ : plus la terrasse est grande, plus l'agrandissement coûte de surface.

Étape 3 — Une grandeur en notation scientifique. Pour la dalle, l'artisan donne une masse surfacique de $\mathrm{0,000024}$ tonne par cm². Yasmine la réécrit proprement :

$\mathrm{0,000024}=\mathrm{2,4}\times {10}^{-5}\mathrm{.}$

Pour une dalle de $30000$ cm², soit $3\times {10}^4$ cm², la masse vaut

$\mathrm{2,4}\times {10}^{-5}\times 3\times {10}^4=\mathrm{7,2}\times {10}^{-1}=\mathrm{0,72}\text{ tonne}\mathrm{.}$

Les règles des puissances de la leçon 3 évitent toute file de zéros.

Étape 4 — Une diagonale (racine carrée). La diagonale du carré de côté $x=6$ m vaut $\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$. Yasmine simplifie :

$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}\approx \mathrm{8,49}\text{ m}\mathrm{.}$

Elle se garde bien d'écrire $\sqrt{72}=\sqrt{36}+\sqrt{36}$ : la racine ne se distribue pas sur une somme.

Étape 5 — Un rendement (expression fractionnaire). Le coût au mètre carré exploitable s'écrit ${\displaystyle \frac{C}{x^2-9}}$, où $C$ est le budget. La valeur interdite saute aux yeux : $x^2-9=0$ pour $x=3$ (et $x=-3$, sans objet ici). Une terrasse de côté $3$ m n'aurait aucune surface exploitable — division par zéro, situation impossible. Yasmine retient $x>3$.

Conclusion. En un seul projet, Yasmine a développé, factorisé, manié une identité remarquable, une notation scientifique, une racine et une valeur interdite. Aucun de ces outils n'était isolé : ils se sont enchaînés naturellement. C'est exactement la fluidité attendue en Première, où factoriser $x^2-9$ deviendra factoriser un trinôme du second degré, et où ces automatismes seront supposés acquis. Les soigner aujourd'hui, c'est s'épargner l'effort demain.

À retenir