Calcul littéral, puissances et racines — exercices corrigés

La distributivité simple multiplie le facteur extérieur par chaque terme de la parenthèse : $5(x+2)=5\times x+5\times 2=5x+10$. Si tu as répondu A, tu as oublié de multiplier le $2$ par $5$ ; en distribuant, chaque terme est concerné, sans exception. Mémo : développer, c'est « donner » le facteur à tout le monde dans la parenthèse. Ce geste deviendra un réflexe pour le second degré en Première.

Le facteur commun à $6x$ et $9$ est $3$ : $6x+9=3\times 2x+3\times 3=3(2x+3)$. Vérifie en redéveloppant : $3\times 2x+3\times 3=6x+9$, c'est juste. Si tu as répondu C, tu as oublié de diviser le $9$ par $3$. Mémo : factoriser, c'est mettre devant ce qui est commun, puis vérifier en redéveloppant.

L'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ donne ici $x^2+2\times x\times 3+3^2=x^2+6x+9$. Si tu as répondu A, tu as commis l'erreur reine du chapitre — oublier le double produit $2ab=6x$. Vérifie avec un nombre : $(1+3{)}^2=16$, alors que $1^2+3^2=10$ : le double produit existe bel et bien. Tu retrouveras ce développement partout en Première.

C'est l'identité de la différence de deux carrés : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Ici $x^2-5^2=x^2-25$. Si tu as répondu C, tu as développé comme un produit ordinaire sans voir que les termes croisés $-5x$ et $+5x$ s'annulent. Mémo : dès que tu vois $(\cdots -\dots )(\cdots +\dots )$ avec les mêmes termes, le résultat est une différence de carrés.

$2^5$ est le produit de cinq facteurs $2$ : $2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$. Si tu as répondu $10$, tu as multiplié $2\times 5$ au lieu d'élever à la puissance — l'exposant compte le nombre de facteurs, il ne se multiplie pas à la base. Mémo : une puissance, c'est une multiplication répétée, pas une multiplication ordinaire.

Un exposant négatif signifie « inverse » : ${10}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}={\displaystyle \frac{1}{1000}}=\mathrm{0,001}$. Si tu as répondu $-1000$, tu as confondu exposant négatif et nombre négatif — c'est le piège d'Amine dans le cours. Un exposant négatif ne rend jamais le nombre négatif, il donne un petit nombre positif. Mémo : ${10}^{-n}$ a $n$ chiffres après la virgule.

$\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$ et $7$ est positif. La racine carrée d'un nombre cherche le nombre positif dont le carré redonne ce nombre. Si tu as répondu $\mathrm{24,5}$, tu as divisé par $2$ : la racine carrée n'est pas la moitié. Mémo : pour trouver une racine, demande-toi « quel nombre au carré donne cela ? ».

C'est l'erreur emblématique du chapitre. Le développement correct est $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : le double produit $2ab$ manque dans la formule de Karim. Contre-exemple imparable : $(2+3{)}^2=25$, alors que $2^2+3^2=13$. Les deux ne sont pas égaux. Mémo : un carré de somme a toujours trois termes, jamais deux. Ne te fais jamais avoir par ce piège en Première.

La racine carrée se distribue sur un produit, jamais sur une somme. À gauche : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. À droite : $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Comme $5\mathrm{\ne }7$, l'égalité est fausse. Mémo : $\sqrt{a+b}\mathrm{\ne }\sqrt{a}+\sqrt{b}$, mais $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$. Garde ce contre-exemple en tête, il tranche toujours.

Par convention, toute puissance d'exposant $0$ vaut $1$ (pour $a\mathrm{\ne }0$). On peut le justifier par les règles de calcul : ${\displaystyle \frac{a^n}{a^n}}=a^{n-n}=a^0$, et ce quotient vaut $1$. Si tu as répondu Faux en pensant que $a^0=0$, retiens que l'exposant $0$ n'annule pas : il donne $1$. Mémo : $5^0=1$, ${100}^0=1$, même $(-3{)}^0=1$.

Une valeur interdite annule le dénominateur, car on ne divise jamais par $0$. Ici $x-4=0$ donne $x=4$. L'expression est définie pour tout $x\mathrm{\ne }4$. Si tu as trouvé $-7$, tu as annulé le numérateur — mais un numérateur nul ne pose aucun problème, c'est seulement le dénominateur qu'il faut surveiller. Mémo : valeur interdite = ce qui annule le bas de la fraction.

On cherche le plus grand carré parfait qui divise $50$ : c'est $25$. Alors $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Si tu as répondu C, tu as oublié que sortir un carré prend sa racine : $\sqrt{25}=5$, pas $25$. Mémo : pour simplifier une racine, décompose en (carré parfait) $\times$ (reste), puis sors la racine du carré.

La règle « puissance de puissance » multiplie les exposants : ${\left(3^2\right)}^2=3^{2\times 2}=3^4=81$. Tu peux vérifier en deux temps : $3^2=9$, puis $9^2=81$. Si tu as répondu $36$, tu as additionné les exposants ($3^{2+2}=3^4$… mais $36=6^2$ vient plutôt de $6^2$) — attention, ici on multiplie. Mémo : puissance de puissance, on multiplie les exposants.

On remplace $x$ par $5$ : $5^2-9=25-9=16$. Attention à l'ordre des opérations : on élève au carré avant de soustraire. Si tu as répondu $1$, tu as calculé $(5-3{)}^2$ ou confondu avec une autre factorisation ; ici il faut d'abord $5^2=25$. Mémo : substitue, puis respecte la priorité des puissances sur la soustraction.

La notation scientifique s'écrit $a\times {10}^n$ avec $1\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<10$. On place la virgule après le premier chiffre non nul : $\mathrm{3,4}$, puis on compte les rangs jusqu'à $3400000$, soit $6$. D'où $\mathrm{3,4}\times {10}^6$. Si tu as répondu A, ton $a=34$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ : ce n'est pas une notation scientifique valide. Mémo : un seul chiffre non nul avant la virgule.

La racine carrée renvoie toujours un résultat positif. Ici $(-7{)}^2=49$, donc $\sqrt{(-7{)}^2}=\sqrt{49}=7$, pas $-7$. La règle générale est $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$, la valeur absolue de $a$. Si tu as répondu Vrai, tu as cru que la racine « efface » simplement le carré et rend la base telle quelle — elle l'efface mais rend toujours du positif. Mémo : $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$.

Le facteur commun est la parenthèse $(x+2)$. On le met en facteur : $(x+2)[(x-1)+3x]=(x+2)(4x-1)$. La réponse B donne la bonne factorisation mais sans réduire le crochet — il faut toujours simplifier $(x-1)+3x=4x-1$. Mémo : un facteur commun peut être une parenthèse entière ; une fois mis en facteur, réduis ce qui reste.

$\sqrt{144}=12$ car ${12}^2=144$. Pour le retrouver, pense aux carrés que tu connais : ${10}^2=100$, ${12}^2=144$, ${13}^2=169$. Si tu as répondu $72$, tu as divisé par $2$ : la racine n'est pas la moitié. Mémo : connaître par cœur les carrés de $1$ à $15$ rend les racines parfaites immédiates.

Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants : $a^4\times a^3=a^{4+3}=a^7$. On peut le voir en comptant les facteurs : quatre $a$ fois trois $a$ font sept $a$. Si tu as répondu Faux en pensant à $a^{12}$, tu as multiplié les exposants — mais on ne multiplie que pour une puissance de puissance. Mémo : produit, base commune $\to$ on additionne.

L'identité $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=1$ donne $(2x{)}^2-2\times 2x\times 1+1^2=4x^2-4x+1$. Attention à $(2x{)}^2=4x^2$, pas $2x^2$ (la réponse D oublie de mettre le $2$ au carré). La réponse A oublie le double produit. Mémo : élève bien tout le terme $2x$ au carré, et n'oublie jamais le $-2ab$.