Transformations nucléaires

Radioactivité et stabilité du noyau

Tu sais depuis la seconde qu'un atome possède un noyau minuscule, chargé positivement, autour duquel gravite un cortège d'électrons. Descendons dans ce noyau. Il est fait de deux sortes de particules, les protons (chargés positivement) et les neutrons (neutres), qu'on regroupe sous le nom de nucléons. C'est le nombre de protons qui définit l'élément chimique ; c'est l'équilibre entre protons et neutrons qui décide si le noyau est stable ou non.

Le numéro atomique $Z$ se lit en bas, le nombre de masse $A$ en haut. Par exemple, ${}_6^{12}\text{C}$ est un noyau de carbone à $6$ protons et $12-6=6$ neutrons.

Exemple 1. Le noyau ${}_{92}^{238}\text{U}$ (uranium) compte $Z=92$ protons et $N=238-92=146$ neutrons. C'est un noyau lourd, l'un des plus massifs présents naturellement sur Terre.

Exemple 2. Le noyau ${}_6^{14}\text{C}$ (carbone 14) compte $6$ protons, comme tout carbone, mais $14-6=8$ neutrons, soit deux de plus que le carbone 12.

Isotopes et noyaux instables

Le carbone 12 et le carbone 14 ont le même $Z$ ($6$ protons, donc le même élément), mais des $A$ différents : ce sont des isotopes.

Tous les noyaux ne se valent pas en solidité. Si l'on porte sur un diagramme le nombre de neutrons $N$ en fonction du nombre de protons $Z$, les noyaux stables se regroupent le long d'une bande étroite : la vallée de stabilité. En dehors de cette vallée — pour les noyaux trop lourds, ou avec trop de neutrons, ou trop de protons — le noyau est instable : il est radioactif et se désintègre spontanément en un autre noyau, en émettant un rayonnement.

Un phénomène aléatoire, spontané et inéluctable

La radioactivité a une nature déroutante : elle est imprévisible à l'échelle d'un noyau unique.

C'est un point que Salma comprend souvent de travers : elle imagine qu'un noyau « vieillit » et se désintègre à un âge donné, comme un être vivant. Faux. Un noyau de carbone 14 n'a pas d'horloge interne : à chaque instant, il a la même probabilité de se désintégrer, qu'il vienne de se former ou qu'il existe depuis des millénaires. On ne sait rien de quand un noyau précis se transformera ; on ne sait que la probabilité, et c'est sur un très grand nombre de noyaux que cette probabilité devient une loi statistique précise.

Les types de désintégration

Un noyau instable se transforme pour se rapprocher de la vallée de stabilité. Selon la raison de son instabilité — trop lourd, trop de neutrons, trop de protons — il emprunte l'un de trois grands chemins, en émettant une particule caractéristique. Un quatrième rayonnement, $\gamma$, accompagne souvent les autres.

Chaque type corrige un déséquilibre particulier. Voyons-les un à un.

Exemple 1. La radioactivité $\alpha$ concerne les noyaux très lourds ($Z$ grand). Le noyau éjecte un noyau d'hélium ${}_2^4\text{He}$, appelé particule $\alpha$ : il perd ainsi $2$ protons et $2$ neutrons d'un coup, allégeant fortement sa masse.

Exemple 2. La radioactivité ${\beta }^{-}$ concerne les noyaux qui ont trop de neutrons. Au sein du noyau, un neutron se transforme en proton, en émettant un électron rapide ${}_{-1}^0\text{e}$, la particule ${\beta }^{-}$, accompagné d'un antineutrino électronique ${\bar{\nu }}_e$ (particule de charge nulle et de masse quasi nulle, qui emporte une part de l'énergie) : ${}_0^1\text{n}⟶{}_1^1\text{p}+{}_{-1}^0\text{e}+{\bar{\nu }}_e\mathrm{.}$

La radioactivité β⁺ et le rayonnement γ

La radioactivité ${\beta }^{+}$ est le symétrique de la précédente : elle concerne les noyaux qui ont trop de protons. Un proton se transforme en neutron, en émettant cette fois un positon ${}_{+1}^0\text{e}$ — l'antiparticule de l'électron, de même masse mais de charge opposée — accompagné d'un neutrino électronique ${\nu }_e$ : ${}_1^1\text{p}⟶{}_0^1\text{n}+{}_{+1}^0\text{e}+{\nu }_e\mathrm{.}$

Enfin, après une désintégration $\alpha$ ou $\beta$, le noyau fils se retrouve souvent dans un état excité, trop riche en énergie. Il s'en débarrasse en émettant un photon très énergétique, le rayonnement $\gamma$.

Exemple 3. Lors de la désintégration ${\beta }^{-}$ du cobalt 60 (utilisé en radiothérapie), le noyau fils de nickel est produit excité ; il se désexcite en émettant deux photons $\gamma$ très énergétiques. C'est ce rayonnement $\gamma$, et non l'électron, qui est utilisé pour irradier les tumeurs.

Karim croit parfois que le rayonnement $\gamma$ « transforme » le noyau comme le font $\alpha$ et $\beta$. C'est faux : le $\gamma$ ne change ni le nombre de protons ni le nombre de nucléons. Le noyau reste le même élément, le même isotope ; il perd seulement de l'énergie.

Lois de conservation et équations

Une transformation nucléaire s'écrit comme une équation, mais elle obéit à des règles plus strictes qu'une réaction chimique. Deux grandeurs y sont conservées de part et d'autre de la flèche : on parle des lois de Soddy.

Équilibrer une équation nucléaire, c'est trouver le noyau fils inconnu ${}_{Z^{\mathrm{\prime }}}^{A^{\mathrm{\prime }}}\text{Y}$ de sorte que la somme des $A$ et la somme des $Z$ soient identiques des deux côtés. On déduit ensuite l'élément $\text{Y}$ de son numéro atomique $Z^{\mathrm{\prime }}$ grâce à la classification périodique.

Exemple 1. Désintégration $\alpha$ de l'uranium 238. Le noyau émet une particule ${}_2^4\text{He}$ : ${}_{92}^{238}\text{U}⟶{}_{90}^{234}\text{Th}+{}_2^4\text{He}\mathrm{.}$ Vérifie : nucléons $238=234+4$ ; charges $92=90+2$. Le noyau fils, de numéro atomique $90$, est le thorium.

Exemple 2. Désintégration ${\beta }^{-}$ du carbone 14. Un neutron devient proton, un électron ${}_{-1}^0\text{e}$ est émis : ${}_6^{14}\text{C}⟶{}_7^{14}\text{N}+{}_{-1}^0\text{e}\mathrm{.}$ Vérifie : nucléons $14=14+0$ ; charges $6=7+(-1)$. Le carbone se change en azote. C'est cette transformation précise qui sous-tend la datation au carbone 14.

Une remarque d'honnêteté : les équations de désintégration $\beta$ écrites ici avec les seules particules « visibles » sont simplifiées. En toute rigueur, une émission ${\beta }^{-}$ s'accompagne d'un antineutrino ${\bar{\nu }}_e$ et une émission ${\beta }^{+}$ d'un neutrino ${\nu }_e$, comme dans les équations à l'échelle du nucléon vues plus haut. Ces particules ont un nombre de charge et un nombre de masse nuls : elles ne modifient donc pas l'équilibrage par les lois de Soddy, ce qui explique qu'on les omette dans les bilans noyau à noyau.

Équilibrer une désintégration β⁺

Pour la radioactivité ${\beta }^{+}$, le positon émis porte une charge $+1$, donc s'écrit ${}_{+1}^0\text{e}$. Prenons le fluor 18, employé en imagerie médicale (TEP) : ${}_9^{18}\text{F}⟶{}_8^{18}\text{O}+{}_{+1}^0\text{e}\mathrm{.}$ Vérifie : nucléons $18=18+0$ ; charges $9=8+1$. Le numéro atomique diminue d'une unité (un proton de moins) : le fluor devient oxygène.

Observe la différence avec une transformation chimique. Quand le carbone brûle, ses noyaux ${}_6^{12}\text{C}$ restent intacts : seuls les électrons se réarrangent pour former des liaisons. Ici, au contraire, le noyau lui-même change, et l'élément chimique change : le carbone devient azote, le fluor devient oxygène. C'est la marque d'une transformation nucléaire.

Décroissance radioactive et demi-vie

À l'échelle d'un seul noyau, la désintégration est imprévisible. Mais à l'échelle d'un grand nombre de noyaux, le hasard devient une loi d'une régularité parfaite : le nombre de noyaux non encore désintégrés décroît exponentiellement avec le temps.

La constante $\lambda$ est la probabilité, par unité de temps, qu'un noyau donné se désintègre. Elle ne dépend que de la nature du noyau, et de rien d'autre : ni de la température, ni de la pression, ni des liaisons chimiques. C'est ce qui fait des noyaux des horloges si fiables.

La demi-vie

Pour donner un sens concret à la rapidité de décroissance, on définit une durée caractéristique : le temps de demi-vie.

Établir la relation entre demi-vie et constante radioactive

Cette relation se démontre directement à partir de la loi de décroissance. Par définition, à l'instant $t=t_{1\mathrm{/}2}$, il ne reste que la moitié des noyaux initiaux : $N(t_{1\mathrm{/}2})={\displaystyle \frac{N_0}{2}}$. Écrivons la loi $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ à cet instant précis : $N_0{e}^{-\lambda t_{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{N_0}{2}}\mathrm{.}$ On simplifie par $N_0$ (non nul), ce qui isole l'exponentielle : $e^{-\lambda t_{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$ En prenant le logarithme népérien des deux membres, et puisque $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-\ln 2$ : $-\lambda t_{1\mathrm{/}2}=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-\ln 2⟹t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}\mathrm{.}$ Remarque essentielle : $N_0$ a disparu du résultat. La demi-vie ne dépend que de $\lambda$ (donc de la seule nature du noyau), pas du nombre de noyaux présents au départ — c'est pourquoi elle vaut la même durée quel que soit l'instant choisi comme origine.

La propriété clé est que la demi-vie est constante : quel que soit l'instant de départ, il faut toujours la même durée $t_{1\mathrm{/}2}$ pour que le nombre de noyaux soit divisé par $2$. Après $t_{1\mathrm{/}2}$, il reste ${\displaystyle \frac{N_0}{2}}$ ; après $2t_{1\mathrm{/}2}$, il reste ${\displaystyle \frac{N_0}{4}}$ ; après $3t_{1\mathrm{/}2}$, il reste ${\displaystyle \frac{N_0}{8}}$, et ainsi de suite. Cette division par $2$ à chaque palier est l'outil de calcul rapide du chapitre.

Exemple 1. Le carbone 14 a une demi-vie $t_{1\mathrm{/}2}\approx 5730$ ans. Un échantillon contenant $N_0$ noyaux de carbone 14 n'en contiendra plus que ${\displaystyle \frac{N_0}{2}}$ après $5730$ ans, ${\displaystyle \frac{N_0}{4}}$ après $11460$ ans, ${\displaystyle \frac{N_0}{8}}$ après $17190$ ans.

Activité d'un échantillon

On ne compte pas les noyaux un à un : on mesure le rythme des désintégrations, c'est-à-dire l'activité.

Comme $A$ est proportionnelle à $N$, l'activité décroît exactement de la même façon : $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$, et elle aussi est divisée par $2$ à chaque demi-vie. Mesurer l'activité d'un échantillon, c'est donc une façon indirecte de connaître $N$.

Exemple 2. Un échantillon de carbone 14 a aujourd'hui une activité $A_0$. Au bout de deux demi-vies, soit $11460$ ans, son activité aura été divisée par $4$ : elle vaudra ${\displaystyle \frac{A_0}{4}}$. En mesurant le rapport entre l'activité d'un échantillon ancien et celle d'un échantillon vivant, on remonte au nombre de demi-vies écoulées, donc à l'âge.

Énergie libérée et équivalence masse-énergie

Reste la question la plus spectaculaire : pourquoi le nucléaire libère-t-il tant d'énergie ? La réponse tient dans une équivalence profonde entre la masse et l'énergie, énoncée par Einstein en 1905.

Le facteur $c^2$ est gigantesque : une masse minuscule équivaut à une énergie énorme. C'est tout le secret du nucléaire.

Le défaut de masse

Quand un noyau se transforme en libérant de l'énergie (transformation dite exoénergétique — c'est le cas des désintégrations radioactives spontanées, de la fission et de la fusion stellaire), on constate un fait surprenant : la masse totale des produits est inférieure à celle des réactifs. Cette masse « manquante », appelée défaut de masse $\mathrm{\Delta }m$, n'a pas disparu : elle s'est convertie en énergie, libérée par la réaction. (Inversement, certaines transformations nucléaires ne se produisent qu'en recevant de l'énergie ; la masse des produits y est alors supérieure à celle des réactifs. Toutes les transformations spontanées étudiées ici sont exoénergétiques.)

Les masses se mesurent ici en unité de masse atomique ($\text{u}$), et les énergies en mégaélectronvolts ($\text{MeV}$), unités adaptées à l'échelle du noyau.

Exemple 1. Dans une transformation nucléaire, un défaut de masse de seulement $\mathrm{\Delta }m=1\text{ u}\approx \mathrm{1,66}\times {10}^{-27}\text{ kg}$ libère $E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{1,66}\times {10}^{-27}\times (\mathrm{3,00}\times {10}^8{)}^2\approx \mathrm{1,5}\times {10}^{-10}\text{ J}\approx 931\text{ MeV}\mathrm{.}$ C'est environ un million de fois plus que l'énergie d'une liaison chimique, qui se chiffre en électronvolts. Voilà pourquoi un gramme de combustible nucléaire libère autant d'énergie que des tonnes de charbon.

Fission et fusion

Deux grandes familles de réactions exploitent ce défaut de masse, aux deux extrémités de la table des noyaux.

Exemple 2. La fission de l'uranium 235 est la réaction qui chauffe les centrales nucléaires : un neutron casse le noyau, libérant de l'énergie et d'autres neutrons qui entretiennent une réaction en chaîne. La fusion de noyaux d'hydrogène, elle, est la source d'énergie du Soleil et des étoiles : c'est elle qui fait briller le ciel au-dessus du désert de Merzouga.

Garde en tête l'ordre de grandeur : les énergies nucléaires dépassent les énergies chimiques d'un facteur de l'ordre du million. Combustion d'un carburant et fission d'un noyau ne jouent pas dans la même cour.

Pièges classiques

1. Confondre transformation nucléaire et transformation chimique. Dans une transformation chimique, seuls les électrons se réarrangent ; les noyaux et donc les éléments restent intacts. Dans une transformation nucléaire, c'est le noyau qui change, et l'élément lui-même se transforme (le carbone devient azote). Ce sont deux mondes différents, à deux échelles différentes.

2. Croire qu'un noyau « vieillit » avant de se désintégrer. La désintégration est purement aléatoire : un noyau n'a pas de durée de vie programmée. À chaque instant, sa probabilité de se désintégrer est la même, qu'il soit « jeune » ou « vieux ». On ne sait jamais quand un noyau précis se transformera.

3. Oublier d'équilibrer $A$ et $Z$. Les deux lois de Soddy doivent être vérifiées simultanément : la somme des nombres de masse $A$ et la somme des numéros atomiques $Z$ se conservent toutes deux. Vérifie toujours les deux égalités avant de conclure sur le noyau fils.

4. Se tromper sur le sens de variation de $Z$ en ${\beta }^{-}$ et ${\beta }^{+}$. En ${\beta }^{-}$, un neutron devient proton : $Z$ augmente de $1$. En ${\beta }^{+}$, un proton devient neutron : $Z$ diminue de $1$. Le nombre de masse $A$, lui, ne change pas dans les deux cas (l'électron ou le positon a un $A$ nul).

5. Confondre demi-vie et durée de vie totale. Après une demi-vie, il reste la moitié des noyaux, pas zéro. Après deux demi-vies, il en reste le quart, après trois le huitième, etc. Les noyaux ne disparaissent jamais tous d'un coup : la décroissance est exponentielle, sans fin nette.

6. Penser que la constante radioactive $\lambda$ dépend des conditions extérieures. $\lambda$ (et donc $t_{1\mathrm{/}2}$) ne dépend que de la nature du noyau. Chauffer, comprimer ou lier chimiquement l'échantillon ne change rien au rythme des désintégrations. C'est ce qui fait des noyaux des horloges incorruptibles.

Application concrète

De retour de sa visite au musée, Karim veut comprendre par lui-même comment on a daté la charpente de Volubilis. Il sait que le bois, du vivant de l'arbre, contient du carbone 14 dans la même proportion que l'atmosphère ; qu'à la mort de l'arbre, cet apport cesse et que le carbone 14 ne fait plus que décroître. Il mesure l'activité de l'échantillon et la compare à celle d'un bois vivant de référence.

Étape 1 — Identifier le noyau radioactif. Le noyau en jeu est le carbone 14, ${}_6^{14}\text{C}$, isotope instable du carbone à $6$ protons et $8$ neutrons. Sa demi-vie est $t_{1\mathrm{/}2}\approx 5730$ ans. C'est un noyau riche en neutrons, situé au-dessus de la vallée de stabilité : il est donc radioactif ${\beta }^{-}$.

Étape 2 — Écrire l'équation de désintégration. Un neutron du noyau se transforme en proton avec émission d'un électron. Karim écrit l'équation et vérifie les lois de Soddy : ${}_6^{14}\text{C}⟶{}_7^{14}\text{N}+{}_{-1}^0\text{e}\mathrm{.}$ Nucléons : $14=14+0$. Charges : $6=7+(-1)$. Tout est conservé. Le carbone 14 se change en azote 14.

Étape 3 — Comparer les activités. Karim mesure que l'activité de l'échantillon vaut environ ${\displaystyle \frac{A_0}{\mathrm{1,26}}}$ de celle d'un bois vivant, où $A_0$ est l'activité initiale. Comme l'activité suit la même décroissance que le nombre de noyaux, $A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$, il cherche le temps $t$ écoulé depuis la mort de l'arbre.

Étape 4 — Appliquer la loi de décroissance. De ${\displaystyle \frac{A(t)}{A_0}}=e^{-\lambda t}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,26}}}$, Karim isole $t$ en prenant le logarithme : $t={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{1,26})}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{1,26})}{\ln 2}}{t}_{1\mathrm{/}2},$ en remplaçant $\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{t_{1\mathrm{/}2}}}$.

Étape 5 — Calculer l'âge. Numériquement, $\ln (\mathrm{1,26})\approx \mathrm{0,231}$ et $\ln 2\approx \mathrm{0,693}$, d'où $t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,231}}{\mathrm{0,693}}}\times 5730\approx \mathrm{0,333}\times 5730\approx 1900\text{ ans}\mathrm{.}$ La charpente a donc environ $1900$ ans : elle date bien de l'époque romaine de Volubilis, ce qui colle avec l'étiquette du musée.

Conclusion. En cinq étapes, Karim a transformé une simple mesure d'activité en une datation : noyau identifié, équation ${\beta }^{-}$ équilibrée par les lois de Soddy, loi de décroissance appliquée, âge calculé via la demi-vie. C'est exactement ce que font les archéologues, et la médecine nucléaire procède de la même logique pour doser un traceur radioactif chez un patient. Le caractère aléatoire d'une désintégration unique, joint à la régularité statistique d'un grand nombre de noyaux, fait du carbone 14 une horloge fiable. En classes préparatoires, tu retrouveras cette loi exponentielle au cœur de la physique nucléaire et de l'énergétique, où l'on calculera précisément les énergies libérées par fission et par fusion.

À retenir