Oscillations du circuit RLC

Le circuit RLC série

Trois dipôles, mis bout à bout, suffisent à construire l'oscillateur le plus simple de l'électronique. Un condensateur de capacité $C$, une bobine d'inductance $L$, et un conducteur ohmique de résistance $R$, branchés en série dans une même boucle. Tu connais déjà chacun d'eux : le condensateur stocke de la charge et de l'énergie sous forme électrique, la bobine s'oppose aux variations du courant et stocke de l'énergie sous forme magnétique, la résistance dissipe.

Le scénario typique est en deux temps. D'abord, on charge le condensateur en le reliant à un générateur : il accumule une tension $u_C$ à ses bornes. Puis on bascule un interrupteur pour isoler le générateur et ne laisser que la boucle $R$–$L$–$C$. Le condensateur, livré à lui-même, va se vider dans la bobine. Ce qui se passe alors n'a rien d'évident, et c'est tout l'objet du chapitre.

Exemple 1. Yasmine charge un condensateur de capacité $C=\mathrm{1,0}\mu \text{F}$ sous une tension de $\mathrm{6,0}\text{ V}$, puis le connecte à une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,10}\text{ H}$ en série avec un petit résistor. Au moment du basculement, $u_C=\mathrm{6,0}\text{ V}$ et le courant est nul : le condensateur est plein, la bobine au repos.

La loi des mailles, fil conducteur du circuit

Comme dans tout circuit en boucle, la somme des tensions le long de la maille est nulle. C'est l'outil qui relie les trois dipôles entre eux à chaque instant.

Loi des mailles. À chaque instant, la somme algébrique des tensions le long de la maille RLC est nulle : $u_R+u_L+u_C=0,$ où $u_R=Ri$ est la tension aux bornes du résistor, $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ celle de la bobine, et $u_C$ celle du condensateur.

Tu n'as pas, en Terminale, à résoudre l'équation différentielle qui en découle — ce sera le travail des classes préparatoires. Mais retiens que cette seule relation, jointe au lien $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$ entre courant et tension du condensateur, gouverne tout le comportement oscillant qui suit.

Exemple 2. Juste après le basculement, $u_C=\mathrm{6,0}\text{ V}$ et $i=0$, donc $u_R=0$. La loi des mailles impose alors $u_L=-u_C=-\mathrm{6,0}\text{ V}$ : toute la tension du condensateur se retrouve aux bornes de la bobine, ce qui amorce la variation du courant.

Décharge oscillante d'un condensateur

Dans un circuit RC, le condensateur se vide doucement et sa tension décroît de façon monotone vers zéro : elle baisse, baisse, sans jamais repasser au-dessus. Ajoute une bobine et change tout. Si la résistance est faible, la décharge ne s'arrête pas à zéro : la tension $u_C$ dépasse, devient négative, remonte, redevient positive… elle oscille en changeant de signe.

Pourquoi cette oscillation ? Parce qu'au moment où le condensateur est vide, le courant, lui, est maximal. La bobine, traversée par ce courant, ne le laisse pas s'arrêter net : elle l'entretient et recharge le condensateur… mais en sens inverse. Le condensateur se remplit donc à l'envers, puis le phénomène repart en sens contraire. Le courant fait l'aller-retour, et la tension avec lui.

L'analogie du pendule : l'énergie qui se balance

Le cœur du phénomène est un échange d'énergie. Le condensateur chargé stocke de l'énergie électrique $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2$ ; la bobine parcourue par un courant stocke de l'énergie magnétique $E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2$. Pendant l'oscillation, l'énergie passe sans cesse de l'une à l'autre.

Analogie mécanique. Le circuit RLC se comporte comme un pendule ou un oscillateur masse-ressort. L'énergie électrique du condensateur joue le rôle de l'énergie potentielle (le pendule en haut, à l'arrêt) ; l'énergie magnétique de la bobine joue le rôle de l'énergie cinétique (le pendule en bas, lancé à pleine vitesse).

Exemple 1. À l'instant initial, le condensateur est plein ($u_C$ maximal) et le courant est nul : toute l'énergie est électrique, comme un pendule lâché en haut, immobile. Un quart de période plus tard, le condensateur est vide ($u_C=0$) mais le courant est maximal : toute l'énergie est passée dans la bobine, magnétique, comme le pendule au point bas lancé à pleine vitesse.

Exemple 2. Karim observe à l'oscilloscope la décharge d'un condensateur dans une bobine de faible résistance. Il voit une courbe qui monte et descend de part et d'autre de zéro, de plus en plus petite : ce sont les oscillations libres, l'énergie se balançant entre $C$ et $L$ comme une balançoire dans le jardin d'une riad.

Régimes pseudo-périodique et apériodique

Tout dépend de la valeur de la résistance $R$. Selon qu'elle est faible ou grande, le retour à l'équilibre prend des allures très différentes. On distingue trois régimes.

La logique est simple à mémoriser : plus $R$ est grand, plus l'amortissement est fort. Une faible résistance laisse l'énergie se balancer plusieurs fois entre $C$ et $L$ avant de se dissiper (beaucoup d'oscillations) ; une forte résistance freine si brutalement que l'énergie est dissipée avant même la première oscillation complète.

La pseudo-période n'est pas une vraie période

Dans le régime pseudo-périodique, on parle de pseudo-période et non de période, car le phénomène ne se répète pas à l'identique : chaque oscillation est un peu plus petite que la précédente, l'amplitude diminue. Seule la durée $T$ entre deux maximums successifs reste, elle, à peu près constante.

Exemple 1. Yasmine mesure à l'oscilloscope un circuit RLC où $u_C$ effectue cinq oscillations de plus en plus petites avant de s'éteindre : c'est un régime pseudo-périodique, donc une résistance faible. Si elle augmente $R$ avec un potentiomètre, les oscillations se font plus rares et plus vite amorties ; au-delà d'une certaine valeur, elles disparaissent totalement : on est passé en régime apériodique.

Exemple 2. Karim affirme : « le régime critique, c'est celui où ça oscille le plus lentement ». C'est faux. Le régime critique n'oscille pas du tout : c'est précisément le retour à l'équilibre le plus rapide possible sans oscillation. On l'exploite en métrologie, par exemple pour qu'une aiguille de galvanomètre se stabilise vite sans osciller autour de la valeur.

La période propre

Imaginons le cas idéal d'un circuit sans résistance ($R=0$). Rien ne dissipe l'énergie : les oscillations ne s'amortissent jamais, elles sont sinusoïdales pures et durent indéfiniment. La durée d'une oscillation porte alors un nom précis : la période propre $T_0$.

Vérifions que $\sqrt{LC}$ est bien homogène à un temps. La constante de temps d'un circuit RC vaut $\tau =RC$ (en secondes) et celle d'un circuit RL vaut $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$ (en secondes). En multipliant ces deux durées, $RC\times {\displaystyle \frac{L}{R}}=LC$ a la dimension d'un temps au carré ; donc $\sqrt{LC}$ a la dimension d'un temps. La formule $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ est bien homogène à une durée.

Établir l'équation différentielle et la période propre

D'où vient la formule $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ ? On peut l'établir. Dans le cas idéal sans résistance ($R=0$), la loi des mailles de la boucle LC s'écrit $u_L+u_C=0$, soit $L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}+u_C=0$. Or le courant et la tension du condensateur sont liés par $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$, donc ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=C{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2{u}_C}{\mathrm{d}{t}^2}}$. En reportant : $LC{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2{u}_C}{\mathrm{d}{t}^2}}+u_C=0,\text{soit}{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2{u}_C}{\mathrm{d}{t}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{LC}}{u}_C=0.$

Cette équation différentielle du second ordre gouverne l'évolution de $u_C$. Vérifions qu'une fonction sinusoïdale $u_C(t)=U_0\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}t\right)$, d'amplitude $U_0$ égale à la tension initiale du condensateur, en est solution. En la dérivant deux fois : ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2{u}_C}{\mathrm{d}{t}^2}}=-{\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}\right)}^2{U}_0\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}t\right)=-{\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}\right)}^2{u}_C\mathrm{.}$ En reportant dans l'équation, il vient $[{\displaystyle \frac{1}{LC}}-{\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}\right)}^2]u_C=0$. Pour que cette égalité soit vraie à chaque instant, il faut ${\left({\displaystyle \frac{2\pi }{T_0}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{LC}}$, c'est-à-dire $T_0=2\pi \sqrt{LC}\mathrm{.}$ La fonction sinusoïdale n'est solution que pour cette valeur précise de $T_0$ : la période propre est imposée par l'équation, non choisie. Dans un circuit réel, $R\mathrm{\ne }0$ ajoute un terme ${\displaystyle \frac{R}{L}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$ qui amortit peu à peu ces oscillations.

La pseudo-période vaut presque $T_0$

Dans un vrai circuit, la résistance n'est jamais nulle, mais si l'amortissement reste faible (régime pseudo-périodique peu amorti), la pseudo-période $T$ mesurée est très proche de la période propre $T_0$. C'est ce qui rend $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ utile en pratique : on calcule $T_0$, et l'on sait que les oscillations réelles battront presque à ce rythme.

Exemple 1. Une bobine d'inductance $L=10\text{ mH}=10\times {10}^{-3}\text{ H}$ et un condensateur de capacité $C=\mathrm{1,0}\mu \text{F}=\mathrm{1,0}\times {10}^{-6}\text{ F}$ forment un circuit LC. La période propre vaut $T_0=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{10\times {10}^{-3}\times \mathrm{1,0}\times {10}^{-6}}=2\pi \sqrt{\mathrm{1,0}\times {10}^{-8}}\mathrm{.}$ Or $\sqrt{\mathrm{1,0}\times {10}^{-8}}=\mathrm{1,0}\times {10}^{-4}\text{ s}$, donc $T_0=2\pi \times \mathrm{1,0}\times {10}^{-4}\approx \mathrm{6,3}\times {10}^{-4}\text{ s}=\mathrm{0,63}\text{ ms}\mathrm{.}$

Exemple 2. La fréquence propre du même circuit vaut $f_0={\displaystyle \frac{1}{T_0}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,3}\times {10}^{-4}}}\approx \mathrm{1,6}\times {10}^3\text{ Hz}=\mathrm{1,6}\text{ kHz}\mathrm{.}$ Ce circuit oscille spontanément à environ $\mathrm{1,6}\text{ kHz}$ : c'est sa « note » propre.

Le piège des unités

Pour que $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ donne une durée en secondes, $L$ doit être en henrys et $C$ en farads. Salma oublie souvent de convertir les millihenrys et les microfarads : un $C$ laissé en $\mu \text{F}$ fausse le résultat d'un facteur ${10}^6$. Convertis toujours avant de calculer.

Amortissement et dissipation d'énergie

Pourquoi les oscillations réelles s'éteignent-elles ? L'énergie totale du circuit est la somme de l'énergie électrique du condensateur et de l'énergie magnétique de la bobine : $E={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2\mathrm{.}$ Dans le cas idéal sans résistance, cette énergie totale se conserve : elle se balance de $C$ vers $L$ et retour, mais sa somme reste constante. Dès qu'une résistance est présente, ce n'est plus vrai.

À chaque fois que le courant traverse la résistance, une partie de l'énergie est convertie en chaleur et quitte définitivement le jeu de balancier entre $C$ et $L$. Le pendule analogue, lui, perd son énergie par frottements de l'air et au point d'attache : il oscille de moins en moins haut, puis s'arrête. Le circuit RLC fait exactement pareil.

Exemple 1. Yasmine compare deux décharges du même condensateur, l'une avec un résistor de $10\mathrm{\Omega }$, l'autre de $100\mathrm{\Omega }$. Avec $100\mathrm{\Omega }$, l'effet Joule est bien plus fort : l'énergie est dissipée plus vite, les oscillations s'éteignent en moins de cycles. La résistance plus grande amortit davantage.

Exemple 2. Au tout début, l'énergie initiale est entièrement électrique : $E_0={\displaystyle \frac{1}{2}}C{U}_0^2$. À la toute fin, $u_C=0$ et $i=0$ : il ne reste plus d'énergie dans le circuit. Toute l'énergie $E_0$ a été dissipée en chaleur dans la résistance. Rien ne s'est perdu au sens absolu — l'énergie a simplement changé de forme et chauffé le conducteur.

Le lien avec le régime

C'est le même phénomène, vu sous l'angle énergétique, qui explique les régimes du paragraphe précédent. Une faible résistance dissipe lentement : l'énergie a le temps de se balancer plusieurs fois (régime pseudo-périodique). Une forte résistance dissipe si vite que l'énergie est consommée avant même de pouvoir revenir une seule fois dans le condensateur (régime apériodique).

Entretien des oscillations

Puisque la résistance vide inexorablement le circuit de son énergie, comment obtenir des oscillations qui ne s'éteignent jamais, d'amplitude constante ? La réponse est de rendre au circuit, à chaque cycle, exactement l'énergie qu'il perd par effet Joule. On compense les pertes.

L'idée est exactement celle d'une balançoire qu'on pousse au bon moment, ou d'un pendule d'horloge entretenu par un ressort : sans apport, le mouvement s'amortit ; avec un apport calibré qui rend les pertes, l'amplitude se maintient indéfiniment. Le dispositif électronique ajuste l'énergie injectée pour qu'elle égale exactement l'énergie dissipée à chaque oscillation.

Exemple 1. Karim monte un oscillateur électronique : un circuit LC associé à un montage d'entretien qui réinjecte l'énergie perdue. Le résultat est un signal sinusoïdal stable de fréquence $f_0\approx {\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$, qu'on retrouve au cœur des générateurs de signaux et des horloges électroniques.

Exemple 2. Dans un récepteur radio, un circuit accordé LC sélectionne une station précise en se réglant sur sa fréquence d'émission. C'est l'application directe de ce chapitre : on choisit $L$ et $C$ (en pratique, on ajuste $C$ avec le bouton d'accord) pour que $f_0$ coïncide avec la fréquence de la station voulue.

Pièges classiques

1. Croire que le condensateur se décharge toujours de façon monotone. Dans un circuit RC, oui ; dans un circuit RLC à faible résistance, non : $u_C$ oscille en changeant de signe. C'est la présence de la bobine, qui entretient le courant, qui rend la décharge oscillante.

2. Confondre période propre et pseudo-période. La période propre $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ est celle du cas idéal $R=0$ (sinusoïde non amortie). La pseudo-période $T$ est celle du régime réel amorti ; elle vaut $\approx T_0$ seulement si l'amortissement est faible.

3. Oublier de convertir les unités dans $T_0=2\pi \sqrt{LC}$. $L$ doit être en henrys et $C$ en farads. Un $C$ laissé en $\mu \text{F}$ ou un $L$ en $\text{mH}$ fausse le résultat de plusieurs ordres de grandeur. Convertis d'abord.

4. Penser que l'énergie disparaît. L'énergie totale du circuit décroît, mais elle ne « disparaît » pas : elle est convertie en chaleur par effet Joule dans la résistance. C'est un changement de forme, pas une annihilation.

5. Croire que le régime critique est celui qui oscille le plus lentement. Le régime critique n'oscille pas du tout : c'est le retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation. Au-delà (apériodique), c'est plus lent ; en deçà (pseudo-périodique), ça oscille.

6. Croire que les oscillations entretenues violent la conservation de l'énergie. Elles ne créent pas d'énergie : un dispositif fournit au circuit exactement l'énergie qu'il perd par effet Joule. Sans cet apport, l'amplitude s'amortit comme toujours.

Application concrète

Karim veut comprendre, en physicien, comment le vieux poste de radio de son grand-père sélectionne une station. À l'intérieur, un circuit accordé : une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,25}\text{ mH}$ et un condensateur variable $C$ commandé par le bouton d'accord, montés avec une faible résistance. Il veut capter une station marocaine émettant en grandes ondes à la fréquence $f_0=540\text{ kHz}$.

Étape 1 — Identifier les dipôles. Karim repère le circuit RLC : la bobine ($L$), le condensateur variable ($C$, réglé par le bouton) et une faible résistance inévitable des fils. La résistance est volontairement faible pour que le circuit oscille bien, en régime pseudo-périodique très peu amorti, proche du cas idéal.

Étape 2 — Relier la fréquence d'accord à $L$ et $C$. Pour capter la station, la fréquence propre du circuit doit coïncider avec celle de l'émission : $f_0=540\text{ kHz}$. La fréquence propre obéit à $f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}\mathrm{.}$ Karim doit donc trouver la valeur de $C$ qui place $f_0$ pile sur $540\text{ kHz}$.

Étape 3 — Calculer la capacité d'accord. En isolant $C$ dans la relation précédente, il vient $C={\displaystyle \frac{1}{4{\pi }^2{f}_0^{2}L}}$. Avec $f_0=540\times {10}^3\text{ Hz}$ et $L=\mathrm{0,25}\times {10}^{-3}\text{ H}$ : $C={\displaystyle \frac{1}{4{\pi }^2\times (540\times {10}^3{)}^2\times \mathrm{0,25}\times {10}^{-3}}}\approx \mathrm{3,5}\times {10}^{-10}\text{ F}=\mathrm{0,35}\text{ nF}\mathrm{.}$ En tournant le bouton jusqu'à cette capacité, Karim accorde le poste sur la station.

Étape 4 — Discuter le rôle de l'amortissement. Si la résistance du circuit était grande, l'amortissement serait fort : le circuit répondrait mollement, sans bien « trier » les fréquences, et la station serait captée brouillée, mêlée à ses voisines. Une faible résistance garde le circuit fortement résonant, capable de distinguer nettement $540\text{ kHz}$ d'une station proche. La qualité de la réception tient à un amortissement minimal.

Étape 5 — Sélectionner une autre station. Pour passer à une autre chaîne, Karim tourne le bouton, ce qui modifie $C$ et déplace $f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$. Le circuit s'accorde alors sur une nouvelle fréquence : c'est exactement le geste qu'il faisait sans comprendre, qui prend désormais un sens physique précis.

Conclusion. En cinq étapes, Karim a relié un geste quotidien — tourner un bouton — à la période propre d'un oscillateur RLC. Le circuit accordé capte une station parce que sa fréquence propre $f_0={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$ épouse celle de l'onde émise, et il la capte d'autant plus proprement que l'amortissement est faible. C'est le même oscillateur qui bat dans les générateurs de signaux et les horloges électroniques. En classes préparatoires, tu retrouveras ce circuit comme l'archétype de l'oscillateur harmonique amorti, décrit par une équation différentielle du second ordre, et tu découvriras le phénomène de résonance qui prolonge directement cette idée d'accord.

À retenir