Ondes mécaniques

Les ondes mécaniques progressives

Reprenons la ride sur le lac. Ce qui se déplace, ce n'est pas l'eau : c'est une déformation du milieu, qui passe de proche en proche. Chaque parcelle d'eau bouge un peu autour de sa position, puis transmet le mouvement à sa voisine, et revient à sa place. La perturbation voyage ; la matière, elle, reste.

Trois mots comptent dans cette définition. Mécanique : il faut un milieu matériel (eau, air, corde, sol) — une onde mécanique ne se propage pas dans le vide, contrairement à la lumière. Progressive : la perturbation avance, elle s'éloigne de la source. Sans transport de matière : la brindille oscille sur place, elle ne suit pas la ride.

Exemple 1. Sur une longue corde tendue tenue par Salma, Karim donne une secousse verticale à son extrémité. Une bosse part le long de la corde jusqu'à Salma. Chaque point de la corde monte puis redescend au passage de la bosse, mais aucun point ne se déplace vers Salma : c'est bien une onde, pas un déménagement de corde.

Exemple 2. Le son de l'adhan qui se propage dans l'air depuis le minaret est une onde mécanique : l'air se comprime et se détend de proche en proche, mais l'air lui-même ne voyage pas du minaret jusqu'à ton oreille (sinon il y aurait du vent).

Ondes transversales et ondes longitudinales

Selon la direction dans laquelle le milieu se déforme, on distingue deux familles.

Exemple 3. La bosse sur la corde de Karim est transversale : la corde monte et descend (verticalement) tandis que l'onde avance (horizontalement). Les rides sur le lac sont également de type transversal en surface.

Exemple 4. Le son dans l'air est longitudinal : l'air se comprime et se dilate dans la même direction que celle où le son se propage. Un ressort « slinky » qu'on pousse d'un coup sec montre la même chose : une zone de spires serrées qui file le long du ressort.

Célérité et retard

Une onde met un certain temps à aller d'un point à un autre. La vitesse à laquelle la perturbation se propage porte un nom particulier en physique des ondes : la célérité. On la note $v$ (ou $c$ pour la lumière).

La célérité ne dépend pas de la source mais des propriétés du milieu : sa nature, sa température, sa tension (pour une corde). Dans l'air à $20\text{ °C}$, le son va à environ $340\text{ m/s}$ ; dans l'eau, à près de $1500\text{ m/s}$ ; dans l'acier, à plus de $5000\text{ m/s}$. Plus le milieu est rigide, plus le son y va vite.

Exemple 1. Le son met $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{1,5}\text{ s}$ pour parcourir $d=510\text{ m}$ dans l'air. Sa célérité vaut $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{510}{\mathrm{1,5}}}=340\text{ m/s}\mathrm{.}$

Le retard

Si une onde atteint un point A, puis un point B plus éloigné, elle arrive à B après A. Ce décalage temporel s'appelle le retard.

Le retard est l'outil de base de toute mesure de distance par onde : radar, sonar, échographie, GPS reposent tous sur « je mesure un temps, j'en déduis une distance ».

Exemple 2. Le tonnerre est émis en même temps que l'éclair, mais le son est lent ($340\text{ m/s}$) tandis que la lumière est quasi instantanée. Si Yasmine entend le tonnerre $\tau =6\text{ s}$ après avoir vu l'éclair, l'orage est à $d=v\times \tau =340\times 6\approx 2000\text{ m}=2\text{ km}\mathrm{.}$

Le piège de la confusion vitesse de l'onde / vitesse de la matière

Ne confonds jamais la célérité de l'onde (à quelle vitesse la ride avance sur le lac) avec la vitesse d'oscillation d'un point du milieu (à quelle vitesse la brindille monte et descend). Ce sont deux choses distinctes. La ride peut filer à $1\text{ m/s}$ vers le bord pendant que la brindille ne fait qu'un petit va-et-vient vertical sur place. La célérité décrit le voyage de la perturbation ; elle n'a rien à voir avec un quelconque déplacement de matière vers l'avant.

Ondes périodiques et longueur d'onde

Jusqu'ici, une seule secousse : une onde progressive isolée. Mais si Karim secoue la corde de façon régulière, ou si une source vibre sans cesse (un haut-parleur, un vibreur sur l'eau), la perturbation se répète à l'identique : l'onde devient périodique.

La fréquence est imposée par la source : un diapason à $440\text{ Hz}$ fait vibrer l'air $440$ fois par seconde, quel que soit le milieu. C'est une différence capitale avec la célérité, qui dépend du milieu.

La longueur d'onde

Une onde périodique se répète aussi dans l'espace : à un instant donné, on retrouve le même motif à intervalles réguliers le long de la propagation. Cet intervalle spatial est la longueur d'onde.

Cette relation $\lambda =v\times T$ est l'une des plus importantes du chapitre. Elle relie l'espace ($\lambda$, en m), le temps ($T$, en s) et la propagation ($v$, en m/s). Elle se lit simplement : en une période, l'onde avance d'une longueur d'onde.

Établir la relation $\lambda =vT$

Cette relation, qui relie la période temporelle $T$ à la période spatiale $\lambda$, s'établit à partir de la seule définition de la célérité. Considère la source qui vibre : en une durée égale à une période $T$, elle effectue exactement une oscillation complète. Pendant ce même temps $T$, la perturbation émise se propage dans le milieu à la célérité $v$, supposée constante (milieu homogène). La distance qu'elle parcourt vaut donc, d'après $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}$ : $d=v\times T\mathrm{.}$ Or, au bout d'une période, le motif recommence à l'identique : cette distance parcourue en une période est précisément la plus petite distance séparant deux points qui vibrent en phase, c'est-à-dire la longueur d'onde $\lambda$. On a donc établi la double périodicité de l'onde : $\lambda =vT={\displaystyle \frac{v}{f}},$ puisque $f={\displaystyle \frac{1}{T}}$. Une onde périodique l'est deux fois — dans le temps (période $T$) et dans l'espace (période $\lambda$) — et la célérité $v$ est le pont exact entre les deux.

Exemple 1. Un vibreur agite la surface de l'eau à $f=20\text{ Hz}$ ; la célérité des rides est $v=\mathrm{0,40}\text{ m/s}$. La longueur d'onde vaut $\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}}{20}}=\mathrm{0,020}\text{ m}=\mathrm{2,0}\text{ cm}\mathrm{.}$

Exemple 2. Le diapason du musicien de la médina vibre à $f=440\text{ Hz}$ ; dans l'air, $v=340\text{ m/s}$. La longueur d'onde du son émis vaut $\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{340}{440}}\approx \mathrm{0,77}\text{ m}\mathrm{.}$

Le piège du milieu qui change

Quand une onde passe d'un milieu à un autre (de l'air vers l'eau, par exemple), la fréquence ne change pas — elle est fixée par la source — mais la célérité change, donc la longueur d'onde change aussi, puisque $\lambda =v\mathrm{/}f$. Salma croit souvent que « si le son va plus vite dans l'eau, sa fréquence augmente ». Faux : c'est $\lambda$ qui augmente, pas $f$. La note entendue (donc la fréquence) reste la même ; c'est le motif spatial qui s'étire.

Le phénomène de diffraction

Place un obstacle ou une fente étroite sur le chemin d'une onde : au lieu de projeter une « ombre » nette, l'onde contourne l'obstacle et s'épanouit derrière l'ouverture. Ce phénomène, signature de tout comportement ondulatoire, s'appelle la diffraction.

Le critère est essentiel : la diffraction est d'autant plus marquée que l'ouverture (de taille $a$) est petite devant $\lambda$. Si $a\gg \lambda$, l'onde passe presque tout droit ; si $a$ devient comparable à $\lambda$, l'onde s'épanouit largement derrière la fente.

Exemple 1. Yasmine parle dans une pièce voisine, porte entrouverte. Tu l'entends bien que tu ne la voies pas : le son ($\lambda$ de l'ordre du mètre, comparable à la largeur de l'ouverture) diffracte par l'embrasure et s'épanouit dans ta pièce. La lumière, elle, de longueur d'onde minuscule devant la porte, ne diffracte pas de façon perceptible : tu ne vois pas Yasmine.

Exemple 2. Les vagues de la mer à Mehdia franchissent l'étroite passe entre deux digues et s'épanouissent en arcs de cercle dans le port, derrière l'ouverture : la diffraction des vagues est visible à l'œil nu.

Dispersion d'une onde

Dans certains milieux, la célérité d'une onde dépend de sa fréquence. Un tel milieu est dit dispersif. Les composantes graves et aiguës d'un son complexe ne s'y propagent alors pas à la même vitesse : le signal se déforme en route.

L'air est un milieu non dispersif pour le son : graves et aigus voyagent à $340\text{ m/s}$, et c'est heureux — sinon, de loin, une mélodie t'arriverait désaccordée, les notes décalées dans le temps. En revanche, l'eau profonde est dispersive pour les vagues : les grandes longueurs d'onde y vont plus vite que les petites, ce qui explique que la houle d'une tempête lointaine arrive sur la côte triée, les longues vagues d'abord.

Exemple 1. Si l'air était dispersif, l'orchestre de la place Jemaa el-Fna te parviendrait, depuis l'autre bout de la place, avec les basses en avance ou en retard sur les aigus : un brouillage. Le fait qu'on entende la musique « juste » de loin prouve que l'air ne disperse pas le son.

Le piège diffraction / dispersion

Ne confonds pas ces deux mots qui se ressemblent. La diffraction est un étalement spatial dû à un obstacle ou une ouverture — elle ne change pas la vitesse. La dispersion est une dépendance de la vitesse à la fréquence, propre à certains milieux — elle n'a pas besoin d'obstacle. L'une est une question de géométrie (la taille de la fente), l'autre une propriété du milieu.

Ondes sonores et ultrasonores

Le son est l'onde mécanique la plus familière : une onde longitudinale de compressions-dilatations de l'air, émise par tout objet qui vibre (corde vocale, peau d'un tambour, membrane d'un haut-parleur). Sa fréquence détermine ce que l'oreille appelle la hauteur du son.

La hauteur d'un son est liée à sa fréquence : un son aigu a une fréquence élevée, un son grave une fréquence basse. L'intensité sonore (le « volume ») est liée à l'amplitude de l'onde.

Exemple 1. La corde grave d'un oud vibre lentement (basse fréquence, son grave) ; une corde fine et tendue vibre vite (haute fréquence, son aigu). C'est la fréquence, pas le musicien, qui fixe la note.

Les ultrasons et la mesure de distance

Les ultrasons ($f>20\text{ kHz}$), inaudibles pour nous, sont précieux car on sait les émettre en impulsions brèves et bien dirigées. Combinés à la mesure d'un retard (leçon 2), ils mesurent des distances : c'est le principe de l'écholocalisation des chauves-souris, du sonar des bateaux, du capteur de recul des voitures et de l'échographie médicale.

Méthode de l'écho. Un émetteur envoie une salve d'ultrasons ; elle se réfléchit sur un obstacle et revient après une durée totale $\mathrm{\Delta }t$ (aller-retour). L'obstacle est à la distance $d={\displaystyle \frac{v\times \mathrm{\Delta }t}{2}},$ le facteur $2$ venant de l'aller-retour.

Exemple 2. Un capteur de recul émet un ultrason qui revient après $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{6,0}\text{ ms}=\mathrm{6,0}\times {10}^{-3}\text{ s}$. Avec $v=340\text{ m/s}$ dans l'air : $d={\displaystyle \frac{v\times \mathrm{\Delta }t}{2}}={\displaystyle \frac{340\times \mathrm{6,0}\times {10}^{-3}}{2}}\approx \mathrm{1,0}\text{ m}\mathrm{.}$ Le mur est à un mètre.

Le piège du facteur 2 oublié

Dans toute mesure par écho, l'onde fait l'aller-retour : la durée mesurée correspond à $2d$, pas à $d$. Karim oublie souvent de diviser par $2$ et trouve une distance double de la réalité. Avant de conclure, demande-toi toujours : l'onde a-t-elle fait un simple trajet ou un aller-retour ?

Pièges classiques

1. Croire qu'une onde transporte de la matière. La brindille sur le lac oscille sur place ; elle ne part pas avec la ride. Une onde transporte une perturbation et de l'énergie, jamais la matière du milieu.

2. Confondre célérité de l'onde et vitesse d'un point du milieu. La ride avance à une certaine célérité ; chaque point du milieu ne fait qu'osciller autour de sa position. Ce sont deux vitesses distinctes.

3. Croire que la fréquence change quand le milieu change. En passant d'un milieu à un autre, la fréquence se conserve (elle vient de la source). C'est la célérité et donc la longueur d'onde ($\lambda =v\mathrm{/}f$) qui changent.

4. Penser que la diffraction modifie la longueur d'onde ou la fréquence. La diffraction ne change que la direction de propagation (l'étalement). $f$, $\lambda$ et $v$ restent identiques. Plus l'ouverture est petite devant $\lambda$, plus l'onde s'étale.

5. Confondre diffraction et dispersion. La diffraction est un étalement dû à une ouverture/obstacle de taille $\approx \lambda$ ; la dispersion est la dépendance de la vitesse à la fréquence, propre à certains milieux. Rien à voir.

6. Oublier le facteur $2$ dans une mesure par écho. L'ultrason fait un aller-retour : la distance à l'obstacle vaut $d={\displaystyle \frac{v\mathrm{\Delta }t}{2}}$, pas $v\mathrm{\Delta }t$.

Application concrète

Yasmine accompagne son oncle pêcheur au large de Dakhla. Le bateau est équipé d'un sonar qui envoie des ultrasons vers le fond pour repérer les bancs de poissons. Curieuse, Yasmine veut comprendre l'appareil en physicienne, du signal émis jusqu'à la profondeur affichée.

Étape 1 — Identifier l'onde et le milieu. Le sonar émet des ultrasons, ondes mécaniques longitudinales de fréquence $f=200\text{ kHz}$, qui se propagent dans l'eau de mer à la célérité $v=1500\text{ m/s}$. Yasmine note d'emblée que cette célérité est une propriété de l'eau, pas du sonar : dans l'air, ces mêmes ultrasons iraient bien plus lentement.

Étape 2 — Calculer la longueur d'onde. La fréquence étant fixée par la source, la longueur d'onde dans l'eau vaut $\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{1500}{200\times {10}^3}}=\mathrm{7,5}\times {10}^{-3}\text{ m}=\mathrm{7,5}\text{ mm}\mathrm{.}$ Cette petite longueur d'onde est un atout : un faisceau d'ultrasons de $\lambda$ aussi courte diffracte peu sur les obstacles de taille décimétrique, donc il reste bien directif et « voit » net vers le fond.

Étape 3 — Mesurer le retard. Le sonar chronomètre la durée entre l'émission de la salve et le retour de l'écho réfléchi sur le fond : $\mathrm{\Delta }t=80\text{ ms}=80\times {10}^{-3}\text{ s}$. Yasmine se souvient du piège : cette durée correspond à un aller-retour.

Étape 4 — En déduire la profondeur. L'onde a parcouru $2d$ pendant $\mathrm{\Delta }t$, donc la profondeur vaut $d={\displaystyle \frac{v\times \mathrm{\Delta }t}{2}}={\displaystyle \frac{1500\times 80\times {10}^{-3}}{2}}=60\text{ m}\mathrm{.}$ Le fond est à $60\text{ m}$. Si Yasmine avait oublié le facteur $2$, elle aurait annoncé $120\text{ m}$ — une erreur du simple au double.

Étape 5 — Discuter la fiabilité. Yasmine se demande si l'eau est un milieu dispersif pour ces ultrasons. À très bonne approximation, non : sur la plage de fréquences du sonar, la célérité ne dépend pas de $f$, donc la salve revient sans se déformer et le retard mesuré est net. En revanche, la célérité dépend de la température et de la salinité de l'eau ; pour une mesure précise, le sonar doit en tenir compte.

Conclusion. En cinq étapes, Yasmine a relié une mesure de temps ($\mathrm{\Delta }t$) à une mesure de distance ($d$) grâce au modèle de l'onde : célérité fixée par le milieu, longueur d'onde déduite de la fréquence, profondeur obtenue par la méthode de l'écho. C'est exactement la logique de l'échographie médicale, du radar et du GPS. Au chapitre suivant, tu retrouveras ces mêmes notions — célérité, longueur d'onde, diffraction — pour la lumière, qui n'est plus une onde mécanique mais qui en partage le langage. En classes préparatoires, une unique équation d'onde réunira la corde, le son et la lumière sous une même écriture.

À retenir