Mécanique de Newton

Vecteurs position, vitesse et accélération

Décrire un point en mouvement, c'est d'abord dire où il se trouve. Pour cela on choisit une origine $O$ et un repère, puis on note le vecteur qui va de l'origine au point $M$. C'est le vecteur position. En le suivant dans le temps, on retrouve la trajectoire de la 2ⁿᵈᵉ — mais avec un outil bien plus puissant que la simple flèche vitesse.

Quand le point se déplace d'un instant $t$ à un instant $t+\mathrm{\Delta }t$, son vecteur position change : il passe de $\overrightarrow{OM}$ à $\overrightarrow{O{M}^{\mathrm{\prime }}}$. Le déplacement pendant cette durée est le vecteur $\overrightarrow{M{M}^{\mathrm{\prime }}}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{OM}$. En divisant ce déplacement par la durée, on obtient le vecteur vitesse.

Tu reconnais le vecteur vitesse de la 2ⁿᵈᵉ : valeur, direction, sens, tangent à la trajectoire. La nouveauté, c'est qu'on le voit maintenant comme un taux de variation de la position : combien de mètres parcourus par seconde, et dans quelle direction. En classes préparatoires, faire tendre $\mathrm{\Delta }t$ vers zéro transformera ce rapport en une dérivée, mais l'idée est déjà tout entière ici.

Exemple 1. Un mobile passe du point $M$ de coordonnées $(2\text{ m};1\text{ m})$ au point $M^{\mathrm{\prime }}$ de coordonnées $(\mathrm{2,6}\text{ m};\mathrm{1,4}\text{ m})$ en $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,2}\text{ s}$. Son déplacement est $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{OM}=(\mathrm{0,6}\text{ m};\mathrm{0,4}\text{ m})$, donc la valeur de sa vitesse vaut environ $v={\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{0,6}}^2+{\mathrm{0,4}}^2}}{\mathrm{0,2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,72}}{\mathrm{0,2}}}\approx \mathrm{3,6}\text{ m/s}\mathrm{.}$

Le vecteur accélération

Le vecteur vitesse peut lui-même changer : en valeur (le mobile accélère ou ralentit), en direction (il tourne), ou les deux à la fois. Mesurer comment le vecteur vitesse varie, c'est introduire le vecteur accélération — l'objet central de toute la mécanique de Newton.

Retiens l'idée maîtresse : l'accélération mesure toute variation du vecteur vitesse, qu'elle porte sur la valeur ou sur la direction. C'est pourquoi un mouvement circulaire uniforme — vitesse de valeur constante mais de direction qui tourne — possède malgré tout une accélération non nulle. Tu avais frôlé cette idée en 2ⁿᵈᵉ ; elle prend ici toute sa place.

Exemple 2. Sur une portion droite, la vitesse d'une voiture passe de $20\text{ m/s}$ à $26\text{ m/s}$ en $\mathrm{\Delta }t=3\text{ s}$, sans changer de direction. La valeur de son accélération vaut $a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{26-20}{3}}=2{\text{m/s}}^2\mathrm{.}$

Les trois lois de Newton

On sait décrire le mouvement. Reste à l'expliquer : qu'est-ce qui fait varier le vecteur vitesse d'un système ? La réponse de Newton tient en trois lois, valables dans un type particulier de référentiel, le référentiel galiléen — un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. En Terminale, le référentiel terrestre est supposé galiléen pour les mouvements de courte durée, et le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre, orienté vers les étoiles) l'est pour étudier les satellites.

Loi. Première loi de Newton (principe d'inertie). Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces appliquées à un système est nulle ($\sum \vec{F}=\vec{0}$), alors son centre de masse est soit immobile, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme — et réciproquement.

Autrement dit : sans force résultante, le vecteur vitesse ne change pas. Un objet n'a pas besoin de force pour garder sa vitesse, seulement pour la modifier. C'est exactement le contraire de l'intuition courante, qui croit qu'il faut « pousser » sans cesse pour avancer — alors qu'on ne pousse que pour vaincre les frottements.

Exemple 1. Sur un rail à coussin d'air horizontal, un palet glisse sans frottement à vitesse constante : poids et réaction du support se compensent, $\sum \vec{F}=\vec{0}$, le mouvement est rectiligne uniforme. Rien ne le pousse, et pourtant il avance.

La deuxième loi : le principe fondamental de la dynamique

Quand la somme des forces n'est pas nulle, le vecteur vitesse varie : il y a accélération. La deuxième loi quantifie ce lien.

Loi. Deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique). Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un système de masse $m$ est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de masse : $\sum \vec{F}=m\vec{a}\mathrm{.}$

Cette relation est le cœur de tout le chapitre. Elle dit que $\vec{a}$ a la même direction et le même sens que la résultante des forces, et que sa valeur lui est proportionnelle. Une grosse masse résiste davantage : à force égale, elle accélère moins. C'est de cette unique loi qu'on déduira la chute, le projectile, la particule chargée et le satellite.

Exemple 2. Une force résultante de valeur $F=12\text{ N}$ s'exerce sur un chariot de masse $m=4\text{ kg}$ posé sur un sol sans frottement. La valeur de son accélération vaut $a={\displaystyle \frac{F}{m}}={\displaystyle \frac{12}{4}}=3{\text{m/s}}^2,$ dans la direction et le sens de la force.

La troisième loi : les actions réciproques

Loi. Troisième loi de Newton (actions réciproques). Si un corps $A$ exerce sur un corps $B$ une force ${\vec{F}}_{A\to B}$, alors $B$ exerce simultanément sur $A$ une force ${\vec{F}}_{B\to A}$ telle que ${\vec{F}}_{A\to B}=-{\vec{F}}_{B\to A}\mathrm{.}$ Ces deux forces ont même droite d'action, même valeur et des sens opposés.

Toute action s'accompagne d'une réaction. Quand tu marches, ton pied pousse le sol vers l'arrière ; le sol te pousse vers l'avant avec la même valeur. Attention : ces deux forces s'exercent sur des corps différents (l'une sur le sol, l'autre sur toi), elles ne se compensent donc jamais entre elles.

Exemple 3. La Terre attire le satellite Mohammed VI-A avec une force dirigée vers son centre ; le satellite attire la Terre avec une force de même valeur, de sens opposé, dirigée vers le satellite. La Terre, immensément plus massive, en est imperceptiblement affectée, mais la force est bien réciproque.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Premier grand cas d'application : un objet lancé près du sol, soumis à son seul poids (on néglige l'air). Le poids vaut $\vec{P}=m\vec{g}$, où $\vec{g}$ est le champ de pesanteur, vertical, dirigé vers le bas, de valeur $g\approx \mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$ près de la surface terrestre.

Ce résultat est spectaculaire : la masse disparaît. Une bille de plomb et une bille de liège, lâchées sans air, tombent exactement de la même façon. C'est la chute libre, et c'est aussi pourquoi Galilée pouvait prédire la chute sans connaître la masse.

Exemple 1. Yasmine lâche une pierre du haut d'une falaise à Legzira, sans vitesse initiale. En chute libre verticale, sa vitesse au bout de $t=\mathrm{2,0}\text{ s}$ vaut $v=gt=\mathrm{9,8}\times \mathrm{2,0}\approx 20\text{ m/s}$, et elle a parcouru $h={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{9,8}\times {\mathrm{2,0}}^2\approx 20\text{ m}$.

Le mouvement de projectile et sa trajectoire parabolique

Si l'objet est lancé avec une vitesse initiale ${\vec{v}}_0$ qui n'est pas verticale, le mouvement se décompose dans un repère $(x,y)$. Comme $\vec{a}=\vec{g}$ est purement vertical, l'accélération est nulle selon l'horizontale et vaut $-g$ selon la verticale (axe $y$ vers le haut). On en tire les équations horaires, avec un lancer depuis l'origine à la vitesse $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale : $x(t)=v_0\cos (\alpha )t,y(t)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2+v_0\sin (\alpha )t\mathrm{.}$ En éliminant le temps, $y$ s'écrit comme un polynôme du second degré en $x$ : la trajectoire est une parabole.

Exemple 2. Yasmine tire un ballon de basket à $v_0=\mathrm{8,0}\text{ m/s}$ sous un angle $\alpha ={50}^{\circ }$. Sa vitesse horizontale reste constante : $v_x=v_0\cos ({50}^{\circ })\approx \mathrm{5,1}\text{ m/s}$, tandis que sa vitesse verticale, d'abord $v_0\sin ({50}^{\circ })\approx \mathrm{6,1}\text{ m/s}$, diminue, s'annule au sommet, puis change de sens. C'est la composante horizontale constante qui donne la portée, la verticale qui donne la hauteur.

Le piège de la masse

Salma croit qu'« un objet lourd tombe plus vite ». En chute libre (air négligé), c'est faux : $\vec{a}=\vec{g}$ ne dépend pas de la masse. Le malentendu vient de l'air, qui freine d'autant plus une plume qu'elle est légère et étalée. Dans le vide — dans un tube où l'on a fait le vide, ou sur la Lune — plume et marteau tombent ensemble. C'est exactement l'expérience réalisée par les astronautes d'Apollo 15.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Le deuxième grand cas remplace le poids par une force électrique. Entre les deux armatures parallèles d'un condensateur plan, soumises à une tension $U$ et séparées d'une distance $d$, règne un champ électrique uniforme $\vec{E}$ de valeur $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$ (en volts par mètre, $\text{V/m}$), dirigé de l'armature positive vers l'armature négative.

Loi. Une particule de charge $q$ placée dans un champ électrique $\vec{E}$ subit la force électrique $\vec{F}=q\vec{E}\mathrm{.}$ Si la charge est positive, $\vec{F}$ a le même sens que $\vec{E}$ ; si elle est négative, $\vec{F}$ a le sens opposé à $\vec{E}$.

En appliquant la deuxième loi de Newton à la particule (de masse $m$, son poids étant le plus souvent négligeable devant la force électrique), on obtient son accélération.

L'analogie est totale. Si la particule entre dans le condensateur avec une vitesse ${\vec{v}}_0$ perpendiculaire au champ, sa trajectoire est une parabole, comme le ballon de Yasmine — seul $\vec{g}$ est remplacé par ${\displaystyle \frac{q}{m}}\vec{E}$.

Exemple 1. Entre deux armatures distantes de $d=\mathrm{4,0}\text{ cm}$ et soumises à $U=200\text{ V}$, le champ vaut $E={\displaystyle \frac{U}{d}}={\displaystyle \frac{200}{\mathrm{4,0}\times {10}^{-2}}}=\mathrm{5,0}\times {10}^3\text{ V/m}\mathrm{.}$

Exemple 2. Un électron, de charge $q=-e=-\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{ C}$ et de masse $m=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}\text{ kg}$, placé dans ce champ subit une force de valeur $F=eE=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\times \mathrm{5,0}\times {10}^3=\mathrm{8,0}\times {10}^{-16}\text{ N}$. Son accélération a pour valeur $a={\displaystyle \frac{F}{m}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,0}\times {10}^{-16}}{\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}}}\approx \mathrm{8,8}\times {10}^{14}{\text{m/s}}^2,$ colossale, et dirigée vers l'armature positive puisque l'électron est négatif.

Le rôle du signe de la charge

La direction de la force est celle du champ, mais son sens dépend du signe de $q$. Un proton ($q>0$) est dévié dans le sens de $\vec{E}$ ; un électron ($q<0$), dans le sens contraire. C'est précisément ce qui permet, dans un spectromètre de masse ou un tube à rayons, de trier les particules selon le signe de leur charge. Karim affirme qu'« une particule va toujours vers la plaque négative » : c'est vrai pour une charge positive, faux pour une charge négative, qui remonte vers la plaque positive.

Mouvement des satellites et des planètes

Troisième cas, et le plus vaste : le mouvement des astres. Deux corps de masses $m$ et $M$ séparés d'une distance $r$ s'attirent mutuellement. C'est la gravitation universelle de Newton.

Loi. Deux corps ponctuels de masses $m$ et $M$ distants de $r$ exercent l'un sur l'autre une force d'attraction gravitationnelle dirigée selon la droite qui les joint, de valeur $F=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}},$ où $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}{\text{N⋅m}}^2{\text{⋅kg}}^{-2}$ est la constante de gravitation universelle.

Pour un satellite de masse $m$ en orbite autour de la Terre de masse $M$, cette force est dirigée vers le centre de la Terre : c'est une force centripète. Un satellite n'échappe pas à la gravitation : il est au contraire en chute libre permanente autour de la Terre. La gravitation l'attire bien sans cesse vers le centre — il « tombe » en continu — mais sa vitesse tangentielle est telle que la Terre se dérobe à mesure : le satellite la « manque » indéfiniment et incurve ainsi sa trajectoire pour rester en orbite, au lieu de s'écraser au sol.

Remarque la cohérence avec la leçon 1 : le mouvement est uniforme (valeur de $v$ constante), pourtant l'accélération n'est pas nulle, car le vecteur vitesse tourne. Cette accélération, dirigée vers le centre, est exactement fournie par la force gravitationnelle. Et là encore, la masse $m$ du satellite disparaît du résultat : un gros et un petit satellite à la même altitude vont à la même vitesse.

Établir l'expression de la vitesse orbitale

Ce résultat ne s'admet pas : il se démontre à partir de la deuxième loi de Newton. Prends pour système le satellite (masse $m$) dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. À l'altitude considérée, la seule force appliquée est l'attraction gravitationnelle, $\vec{F}=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$, dirigée vers le centre de la Terre.

Cette force est radiale : elle est perpendiculaire à la vitesse et n'a donc aucune composante le long de la trajectoire. La valeur de la vitesse ne peut pas varier : le mouvement est uniforme. Or, pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $r$, l'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et sa valeur vaut $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$.

Projetons alors la deuxième loi $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ sur l'axe orienté vers le centre, où la force et l'accélération pointent toutes deux : $G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}=m\times {\displaystyle \frac{v^2}{r}}\mathrm{.}$ La masse $m$ du satellite se simplifie des deux côtés, ainsi qu'un facteur ${\displaystyle \frac{1}{r}}$ : $G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}={\displaystyle \frac{v^2}{r}}⟹v^2={\displaystyle \frac{GM}{r}}⟹v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}\mathrm{.}$ La vitesse orbitale ne dépend donc que de la masse $M$ de l'astre central et du rayon $r$ de l'orbite, jamais de la masse du satellite.

Exemple 1. Le satellite Mohammed VI-A orbite à environ $h=620\text{ km}$ d'altitude, soit un rayon $r=R_T+h\approx \mathrm{6,37}\times {10}^6+\mathrm{0,62}\times {10}^6=\mathrm{6,99}\times {10}^6\text{ m}$. Avec $M=\mathrm{5,97}\times {10}^{24}\text{ kg}$, sa vitesse vaut $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \mathrm{5,97}\times {10}^{24}}{\mathrm{6,99}\times {10}^6}}}\approx \mathrm{7,5}\times {10}^3\text{ m/s},$ soit environ $\mathrm{7,5}\text{ km/s}$ ou $27000\text{ km/h}$.

La troisième loi de Kepler

Le rayon de l'orbite et la durée d'un tour complet, la période $T$, sont liés. En écrivant que la durée d'un tour est $T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$ et en y injectant $v=\sqrt{GM\mathrm{/}r}$, on obtient la troisième loi de Kepler.

Loi. Troisième loi de Kepler. Pour tout satellite en orbite circulaire autour d'un même astre de masse $M$, le rapport du carré de la période au cube du rayon est une constante : ${\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}\mathrm{.}$

Ce rapport ne dépend que de l'astre central, pas du satellite. C'est lui qui permet de placer un satellite en orbite géostationnaire : pour qu'il reste à la verticale d'un même point du Maroc, il faut $T=24\text{ h}$, ce qui impose un rayon précis d'environ $42000\text{ km}$.

Exemple 2. Pour le satellite Mohammed VI-A, la période vaut $T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \times \mathrm{6,99}\times {10}^6}{\mathrm{7,5}\times {10}^3}}\approx \mathrm{5,9}\times {10}^3\text{ s}\approx 98\text{ min}\mathrm{.}$ Il boucle donc un tour de la Terre en moins de deux heures, ce qui lui permet de survoler le Maroc plusieurs fois par jour.

Aspects énergétiques du mouvement

La deuxième loi décrit le mouvement instant par instant. Une autre approche, souvent plus rapide, raisonne sur l'énergie : on relie l'état de départ à l'état d'arrivée sans suivre tout le trajet. La première brique est le travail d'une force.

Le travail est moteur si $\cos (\alpha )>0$ (la force aide au mouvement, $W>0$), résistant si $\cos (\alpha )<0$ (elle s'y oppose, $W<0$), et nul si $\vec{F}\perp \overrightarrow{AB}$ — c'est pourquoi la force gravitationnelle, perpendiculaire à la vitesse sur une orbite circulaire, ne travaille pas et la vitesse y reste constante.

Ces deux grandeurs sont reliées par un théorème central, qui découle directement de la deuxième loi de Newton.

Exemple 1. Yasmine lâche une pierre de masse $m=\mathrm{0,50}\text{ kg}$ d'une hauteur $h=20\text{ m}$. Seul le poids travaille, $W=mgh=\mathrm{0,50}\times \mathrm{9,8}\times 20=98\text{ J}$. D'après le théorème, ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=98\text{ J}$, d'où $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 98}{\mathrm{0,50}}}}\approx 20\text{ m/s}$ — cohérent avec le calcul cinématique précédent.

Énergie potentielle et énergie mécanique

Le travail du poids, $W=mgh$, peut se voir comme la libération d'une énergie « en réserve » liée à l'altitude : l'énergie potentielle de pesanteur.

Exemple 2. Karim glisse sur un toboggan de hauteur $h=\mathrm{3,2}\text{ m}$ à Mehdia Plage, parti sans vitesse, frottements négligés. Toute l'énergie potentielle se convertit en énergie cinétique : $mgh={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$, donc $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times \mathrm{9,8}\times \mathrm{3,2}}\approx \mathrm{7,9}\text{ m/s}\mathrm{.}$ La masse n'intervient pas : Karim et son petit frère arrivent en bas à la même vitesse. Avec frottements, une partie de $E_m$ serait dissipée en chaleur, et la vitesse finale serait moindre.

Pièges classiques

1. Croire qu'une force est nécessaire pour entretenir un mouvement. D'après la première loi, sans force résultante le mouvement est rectiligne uniforme : il faut une force pour changer la vitesse, pas pour la maintenir. On ne pousse une voiture que pour vaincre les frottements, pas pour « entretenir » sa vitesse sur le plat.

2. Confondre « vitesse constante » et « vecteur vitesse constant ». Dans un mouvement circulaire uniforme (satellite, planète), la valeur de la vitesse est constante mais le vecteur vitesse change de direction. L'accélération n'est donc pas nulle, et une force (centripète) agit en permanence.

3. Oublier de préciser le référentiel galiléen. Les trois lois de Newton ne sont valables que dans un référentiel galiléen. En Terminale, on prend le référentiel terrestre (mouvements courts) ou géocentrique (satellites). Hors d'un tel référentiel, $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ ne s'applique pas tel quel.

4. Penser qu'un objet lourd tombe plus vite. En chute libre (air négligé), $\vec{a}=\vec{g}$ ne dépend pas de la masse : tous les corps tombent identiquement. C'est l'air, et non la pesanteur, qui ralentit davantage une plume qu'une bille.

5. Se tromper de sens pour la force électrique. $\vec{F}=q\vec{E}$ : une charge positive est poussée dans le sens de $\vec{E}$, une charge négative dans le sens opposé. Ne suppose jamais que « toute particule va vers la plaque négative » — cela ne vaut que pour les charges positives.

6. Faire travailler une force perpendiculaire au mouvement. Une force perpendiculaire au déplacement a un travail nul ($\cos {90}^{\circ }=0$). C'est le cas de la force gravitationnelle sur une orbite circulaire : elle ne modifie pas la valeur de la vitesse, seulement sa direction.

Application concrète

Karim suit, depuis l'observatoire de l'Oukaïmeden, le satellite marocain d'observation Mohammed VI-A. Il veut tout retrouver par le calcul : à quelle vitesse va-t-il, en combien de temps boucle-t-il un tour, et quelle énergie cinétique met en jeu cet engin de $1100\text{ kg}$ ? Il mobilise pour cela presque toutes les leçons du chapitre. On prendra $M=\mathrm{5,97}\times {10}^{24}\text{ kg}$, $R_T=\mathrm{6,37}\times {10}^6\text{ m}$, $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}$ (SI), et une altitude $h=620\text{ km}$.

Étape 1 — Choisir le système et le référentiel. Karim prend pour système le satellite (assimilé à un point matériel de masse $m=1100\text{ kg}$) et pour référentiel le référentiel géocentrique, supposé galiléen, indispensable pour appliquer les lois de Newton à un mouvement autour de la Terre. Le rayon de l'orbite vaut $r=R_T+h=\mathrm{6,37}\times {10}^6+\mathrm{0,62}\times {10}^6=\mathrm{6,99}\times {10}^6\text{ m}$.

Étape 2 — Identifier la force et appliquer la 2ᵉ loi. À cette altitude, la seule force notable est l'attraction gravitationnelle, $F=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$, dirigée vers le centre de la Terre. Elle est centripète : d'après la deuxième loi de Newton, elle impose une accélération vers le centre, donc une trajectoire incurvée. Comme la force est perpendiculaire à la vitesse, elle ne travaille pas : le mouvement est circulaire uniforme.

Étape 3 — Calculer la vitesse orbitale. En égalant la force gravitationnelle à $ma$ et en exploitant le caractère circulaire, Karim retrouve $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$ : $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\times \mathrm{5,97}\times {10}^{24}}{\mathrm{6,99}\times {10}^6}}}\approx \mathrm{7,5}\times {10}^3\text{ m/s}\mathrm{.}$ Le satellite file à environ $\mathrm{7,5}\text{ km/s}$, soit près de $27000\text{ km/h}$. Karim note que cette vitesse ne dépend pas de la masse du satellite — seulement de l'altitude.

Étape 4 — En déduire la période et vérifier Kepler. La période est $T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \times \mathrm{6,99}\times {10}^6}{\mathrm{7,5}\times {10}^3}}\approx \mathrm{5,9}\times {10}^3\text{ s}\approx 98\text{ min}$. Karim contrôle avec la troisième loi de Kepler : ${\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}$ doit valoir ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}\approx \mathrm{9,9}\times {10}^{-14}{\text{s}}^2{\text{⋅m}}^{-3}$, ce que ses valeurs confirment. Le satellite repasse donc au-dessus du Maroc plusieurs fois par jour.

Étape 5 — Estimer l'énergie cinétique. Enfin, Karim calcule l'énergie cinétique de l'engin : $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1100\times (\mathrm{7,5}\times {10}^3{)}^2\approx \mathrm{3,1}\times {10}^{10}\text{ J}\mathrm{.}$ Une trentaine de milliards de joules : l'équivalent énergétique de plusieurs tonnes de TNT, mobilisé une fois pour toutes lors de la mise en orbite et conservé ensuite, faute de frottements à cette altitude.

Conclusion. En cinq étapes, Karim a entièrement caractérisé le mouvement du satellite : référentiel galiléen, force gravitationnelle centripète, deuxième loi, vitesse orbitale, période, contrôle par Kepler et bilan énergétique. La même mécanique de Newton décrivait, en début de chapitre, le ballon de Yasmine retombant en deux secondes. Un projectile qui retombe et un satellite qui ne retombe jamais : une seule loi, $\sum \vec{F}=m\vec{a}$. En classes préparatoires, tu démontreras les lois de Kepler à partir de cette unique relation, et tu manieras position, vitesse et accélération comme des vecteurs reliés par dérivation — le prolongement direct de ce que tu viens de faire.

À retenir