Dipôle RC

Le condensateur

Ouvre un vieux poste de radio ou la carte électronique d'un chargeur : parmi les composants, certains ressemblent à de petits cylindres ou à de minuscules pastilles, marqués d'une valeur en µF. Ce sont des condensateurs. Leur principe est d'une simplicité élégante : deux surfaces conductrices placées face à face, très proches mais sans se toucher, séparées par un isolant. Quand on les relie à un générateur, des charges électriques s'accumulent sur ces surfaces et y restent piégées : le condensateur stocke de la charge.

L'isolant interdit aux charges de traverser d'une armature à l'autre : elles s'entassent de part et d'autre. Plus on force de charges sur les armatures, plus la tension $u_C$ entre elles augmente. Le lien entre la charge accumulée et cette tension est une simple proportionnalité, dont le coefficient caractérise le composant : sa capacité.

Exemple 1. Un condensateur de capacité $C=470\mu \text{F}=470\times {10}^{-6}\text{ F}$ est chargé sous une tension $u_C=5\text{ V}$. La charge accumulée vaut $q=C\times u_C=470\times {10}^{-6}\times 5=\mathrm{2,35}\times {10}^{-3}\text{ C}\mathrm{.}$

Le farad est une unité énorme : un condensateur d'un farad serait gigantesque. En pratique, on manipule des sous-multiples — le microfarad ($1\mu \text{F}={10}^{-6}\text{ F}$) et le nanofarad ($1\text{ nF}={10}^{-9}\text{ F}$). Garde ces ordres de grandeur en tête : ils t'éviteront bien des erreurs de calcul.

Intensité et débit de charge

Charger un condensateur, c'est y faire arriver des charges : un courant circule. Or l'intensité d'un courant n'est rien d'autre que le débit de charge — la quantité de charge qui passe par seconde. Comme $q=C{u}_C$ et que $C$ est constante, on relie l'intensité à la vitesse de variation de la tension.

Cette relation est capitale. Elle dit que le courant qui traverse un condensateur est proportionnel à la vitesse à laquelle sa tension change. Si $u_C$ est constante (condensateur chargé, à l'équilibre), alors ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}=0$ et donc $i=0$ : aucun courant ne passe. À l'inverse, plus la tension varie vite, plus l'intensité est forte.

Exemple 2. Aux bornes d'un condensateur de $C=100\mu \text{F}$, la tension augmente régulièrement de $2\text{ V}$ en $\mathrm{0,5}\text{ s}$, soit ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}}}=4\text{ V/s}$. L'intensité vaut alors $i=C\times {\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}=100\times {10}^{-6}\times 4=4\times {10}^{-4}\text{ A}=\mathrm{0,4}\text{ mA}\mathrm{.}$

Charge d'un condensateur à travers une résistance

Plaçons maintenant le condensateur dans un circuit réel. On le branche en série avec un générateur de tension constante $E$ et une résistance $R$ : c'est le dipôle RC. À l'instant $t=0$, le condensateur est déchargé ($u_C=0$) et on ferme l'interrupteur. Que va-t-il se passer ? Le condensateur ne se charge pas instantanément : la résistance freine l'arrivée des charges, et la tension $u_C$ monte progressivement vers $E$.

Pour décrire cela précisément, on écrit la loi des mailles dans le circuit série. La tension du générateur se répartit entre la résistance et le condensateur : $E=u_R+u_C=Ri+u_C\mathrm{.}$

Or le même courant $i$ traverse toute la maille, et il charge le condensateur, donc $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$. En remplaçant, on obtient l'équation qui gouverne toute l'évolution :

Vérifier que la solution satisfait l'équation

On n'admet pas une solution sans la contrôler. Vérifions donc que $u_C(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$ est bien solution de $RC{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}+u_C=E$, avec $\tau =RC$. Dérivons d'abord la fonction proposée : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}=E\times (-e^{-t\mathrm{/}\tau })\times (-{\displaystyle \frac{1}{\tau }})={\displaystyle \frac{E}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }\mathrm{.}$ Reportons dans le membre de gauche de l'équation, en remplaçant $RC$ par $\tau$ : $\tau {\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}+u_C=\tau \times {\displaystyle \frac{E}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+E-E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }=E\mathrm{.}$ On retrouve exactement le second membre $E$ : l'équation est vérifiée à chaque instant. Reste la condition initiale : $u_C(0)=E(1-e^0)=E(1-1)=0$, le condensateur part bien déchargé. La fonction proposée est donc la solution du problème (équation différentielle $+$ condition initiale).

Lis cette solution comme une histoire. À $t=0$, l'exponentielle vaut $1$, donc $u_C=E(1-1)=0$ : le condensateur part bien déchargé. Quand $t$ devient grand, $e^{-t\mathrm{/}\tau }$ tend vers $0$, donc $u_C$ tend vers $E$ : le condensateur finit chargé à la tension du générateur. Entre les deux, la montée est une exponentielle croissante, rapide au début puis de plus en plus lente à mesure qu'on approche de $E$.

Exemple 1. Un générateur de $E=\mathrm{6,0}\text{ V}$ charge un condensateur de $C=100\mu \text{F}$ à travers $R=10\text{ k}\mathrm{\Omega }$. La constante de temps vaut $\tau =RC=10\times {10}^3\times 100\times {10}^{-6}=\mathrm{1,0}\text{ s}$. La tension suit $u_C(t)=\mathrm{6,0}(1-e^{-t\mathrm{/}\mathrm{1,0}})$ : au bout d'une seconde, elle a atteint $63\mathrm{\%}$ de $\mathrm{6,0}\text{ V}$, soit environ $\mathrm{3,8}\text{ V}$.

Le comportement de l'intensité

Pendant la charge, que fait le courant ? À l'instant initial, le condensateur déchargé se comporte comme un simple fil : toute la tension $E$ tombe sur la résistance, et l'intensité est maximale, $i(0)={\displaystyle \frac{E}{R}}$. Puis, à mesure que $u_C$ monte, il reste de moins en moins de tension pour la résistance, donc le courant décroît ; quand le condensateur est chargé, $u_C=E$, plus rien ne tombe sur $R$ et $i=0$. L'intensité suit elle aussi une exponentielle, mais décroissante : $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$.

Exemple 2. Dans l'exemple précédent, l'intensité initiale vaut $i(0)={\displaystyle \frac{E}{R}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}}{10\times {10}^3}}=\mathrm{6,0}\times {10}^{-4}\text{ A}=\mathrm{0,60}\text{ mA}$, puis elle décroît vers $0$ à mesure que le condensateur se charge.

Le piège de la continuité de la tension

La tension $u_C$ aux bornes d'un condensateur ne peut jamais subir de saut brusque : elle est continue. Pourquoi ? Parce qu'un saut instantané de $u_C$ exigerait ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$ infini, donc une intensité $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$ infinie — impossible physiquement. Salma écrit parfois qu'à $t=0$ la tension « saute » à une valeur non nulle : c'est faux. Juste après la fermeture de l'interrupteur, $u_C$ vaut encore ce qu'elle valait juste avant. En revanche, l'intensité, elle, peut sauter (elle passe instantanément de $0$ à $E\mathrm{/}R$).

Décharge d'un condensateur

Le condensateur est maintenant chargé à la tension $E$. Coupons le générateur et relions simplement le condensateur à la résistance $R$, en boucle fermée. Les charges accumulées sur les armatures ne demandent qu'à s'échapper : elles traversent la résistance, et la tension $u_C$ s'effondre vers zéro. C'est la décharge.

L'équation s'obtient de la même façon, mais sans générateur : la loi des mailles donne $u_R+u_C=0$, soit $Ri+u_C=0$. Avec $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$, on aboutit à une équation différentielle au second membre nul.

C'est une exponentielle décroissante. À $t=0$, $u_C=E$ (le condensateur part chargé, par continuité) ; quand $t$ grandit, $u_C$ tend vers $0$. La décroissance est rapide au début, puis de plus en plus lente : la fameuse « traîne » de l'exponentielle.

Exemple 1. Un condensateur chargé à $E=\mathrm{6,0}\text{ V}$ se décharge dans $R=10\text{ k}\mathrm{\Omega }$ avec $C=100\mu \text{F}$, donc $\tau =\mathrm{1,0}\text{ s}$. À $t=\tau =\mathrm{1,0}\text{ s}$, il reste $u_C=\mathrm{6,0}{e}^{-1}\approx \mathrm{6,0}\times \mathrm{0,37}=\mathrm{2,2}\text{ V}$ : environ $37\mathrm{\%}$ de la tension de départ.

Exemple 2. Le même condensateur déchargé dans une résistance dix fois plus faible, $R=\mathrm{1,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$, a une constante de temps dix fois plus petite, $\tau =\mathrm{0,10}\text{ s}$ : il se vide dix fois plus vite. La résistance gouverne la vitesse de décharge.

La constante de temps

Tu l'as croisée à chaque équation : la grandeur $\tau =RC$. Elle mérite un chapitre à elle seule, car c'est elle qui répond à la seule question qui compte vraiment en pratique : combien de temps cela prend-il ? Commençons par vérifier que $\tau$ est bien une durée, et pas une grandeur exotique.

Vérifions l'homogénéité par analyse dimensionnelle. La résistance est une tension divisée par une intensité, $[R]={\displaystyle \frac{\text{V}}{\text{A}}}$. La capacité est une charge divisée par une tension, $[C]={\displaystyle \frac{\text{C}}{\text{V}}}$. Or une charge est une intensité multipliée par un temps, $\text{C}=\text{A}\cdot \text{s}$. Donc $[R]\times [C]={\displaystyle \frac{\text{V}}{\text{A}}}\times {\displaystyle \frac{\text{C}}{\text{V}}}={\displaystyle \frac{\text{C}}{\text{A}}}={\displaystyle \frac{\text{A}\cdot \text{s}}{\text{A}}}=\text{s}\mathrm{.}$ Le produit $RC$ a bien la dimension d'un temps. Ce n'est pas une coïncidence d'unités : c'est ce qui justifie qu'on l'appelle une constante de temps.

La signification physique de τ

La constante de temps mesure la rapidité du phénomène. Deux repères sont à connaître par cœur. À $t=\tau$, la charge a parcouru une fraction bien précise du chemin : $u_C(\tau )=E(1-e^{-1})=E(1-\mathrm{0,37})=\mathrm{0,63}E\mathrm{.}$ Autrement dit, à $t=\tau$, le condensateur a atteint $63\mathrm{\%}$ de sa tension finale. Et à $t=5\tau$, $e^{-5}\approx \mathrm{0,007}$, donc $u_C$ dépasse $99\mathrm{\%}$ de $E$ : on considère alors que le régime permanent est atteint et que la charge est terminée.

Exemple 1. Avec $\tau =\mathrm{2,0}\text{ s}$, le condensateur est chargé à $63\mathrm{\%}$ au bout de $\mathrm{2,0}\text{ s}$, et pratiquement à $100\mathrm{\%}$ au bout de $5\tau =10\text{ s}$. Si Amine veut une charge « complète », il doit attendre cinq constantes de temps.

Déterminer τ sur une courbe expérimentale

En travaux pratiques, on lit $\tau$ directement sur l'oscilloscope, par deux méthodes équivalentes.

Exemple 2. Méthode de la tangente à l'origine. Trace la tangente à la courbe de charge à l'instant $t=0$. Cette tangente coupe l'asymptote horizontale $u_C=E$ exactement à l'abscisse $t=\tau$. C'est une lecture rapide et élégante.

Exemple 3. Méthode des $63\mathrm{\%}$. Repère sur l'axe vertical la hauteur $\mathrm{0,63}E$, reporte-toi horizontalement jusqu'à la courbe, puis descends à la verticale : l'abscisse lue est $\tau$. Pour une décharge, on lit plutôt l'abscisse où $u_C$ est tombée à $37\mathrm{\%}$ de $E$.

Le piège du grand τ qui ralentit

Une idée fausse tenace : croire qu'« une grande constante de temps signifie une charge plus forte ». Non. $\tau$ ne dit rien sur la valeur finale (qui est toujours $E$) : elle dit seulement à quelle vitesse on l'atteint. Karim affirme qu'augmenter $R$ « charge davantage » le condensateur — faux : augmenter $R$ augmente $\tau$, donc ralentit la charge, sans changer la tension finale $E$. Un grand $\tau$ = un phénomène lent ; un petit $\tau$ = un phénomène rapide.

Énergie emmagasinée

Pourquoi se donner tant de mal à charger un condensateur ? Parce qu'en accumulant des charges, il emmagasine de l'énergie électrique — une énergie qu'il pourra restituer d'un seul coup au moment voulu. C'est exactement ce que fait le flash : il stocke patiemment, puis libère brutalement.

L'énergie croît comme le carré de la tension : doubler $u_C$ multiplie l'énergie stockée par quatre. C'est pourquoi les appareils à flash montent la tension du condensateur à plusieurs centaines de volts avant la décharge : à tension élevée, l'énergie disponible devient considérable.

Exemple 1. Un condensateur de $C=470\mu \text{F}$ chargé sous $u_C=\mathrm{6,0}\text{ V}$ stocke $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 470\times {10}^{-6}\times (\mathrm{6,0}{)}^2=\mathrm{8,5}\times {10}^{-3}\text{ J}\mathrm{.}$

La continuité de l'énergie

Puisque l'énergie dépend de $u_C$ et que $u_C$ est continue (leçon 2), l'énergie stockée est elle aussi continue : elle ne peut ni apparaître ni disparaître instantanément. Un condensateur ne se charge donc jamais « en un instant » : remplir son réservoir d'énergie prend toujours un temps de l'ordre de quelques $\tau$. À la décharge, cette même énergie est restituée au circuit, ici dissipée dans la résistance (ou, dans un flash, convertie en lumière).

Exemple 2. Le condensateur d'un flash, de $C=800\mu \text{F}$ chargé sous $u_C=300\text{ V}$, stocke $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 800\times {10}^{-6}\times (300{)}^2=36\text{ J},$ libérés en quelques millisecondes dans le tube : une puissance instantanée énorme, d'où l'éclair éblouissant.

Pièges classiques

1. Croire que le condensateur se charge instantanément. La résistance freine l'arrivée des charges. La charge prend un temps de l'ordre de quelques $\tau$, et $u_C$ monte progressivement vers $E$ — jamais en un instant.

2. Oublier la continuité de la tension $u_C$. La tension aux bornes d'un condensateur ne peut jamais sauter : juste après une commutation, $u_C$ vaut ce qu'elle valait juste avant. C'est l'intensité, elle, qui peut subir un saut brusque.

3. Confondre la valeur finale et la vitesse de charge. La tension finale est toujours $E$ (fixée par le générateur) ; $\tau =RC$ ne fixe que la vitesse à laquelle on l'atteint. Augmenter $R$ ne charge pas « davantage » : cela ralentit seulement la charge.

4. Se tromper sur le sens de variation de l'intensité. Pendant la charge, l'intensité décroît de $E\mathrm{/}R$ vers $0$ (et non l'inverse) : c'est la tension $u_C$ qui croît, le courant qui s'éteint à mesure que le condensateur se remplit.

5. Mal placer le $63\mathrm{\%}$ et le $37\mathrm{\%}$. À $t=\tau$, la charge atteint $63\mathrm{\%}$ de $E$ ($1-e^{-1}$) ; à la décharge, il ne reste que $37\mathrm{\%}$ de $E$ ($e^{-1}$). Ne pas intervertir les deux.

6. Oublier le carré dans l'énergie. L'énergie vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2$, avec la tension au carré. Doubler la tension quadruple l'énergie stockée, ce n'est pas une proportionnalité simple.

Application concrète

Amine bricole le flash de son vieil appareil photo argentique, récupéré chez son grand-père à Fès. Le flash contient un condensateur de capacité $C=800\mu \text{F}$, chargé à travers une résistance $R=\mathrm{5,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$ par un circuit qui élève la tension jusqu'à $E=300\text{ V}$. Amine veut comprendre, en physicien, pourquoi il doit toujours attendre entre deux photos.

Étape 1 — Calculer la constante de temps. Amine commence par la grandeur reine, $\tau =RC$ : $\tau =R\times C=\mathrm{5,0}\times {10}^3\times 800\times {10}^{-6}=\mathrm{4,0}\text{ s}\mathrm{.}$ La constante de temps du flash vaut $\mathrm{4,0}\text{ s}$. C'est déjà un signe : le phénomène n'est pas instantané.

Étape 2 — Estimer le temps de charge. La charge est pratiquement complète au bout de $5\tau$ : $t_{\text{charge}}=5\tau =5\times \mathrm{4,0}=20\text{ s}\mathrm{.}$ Voilà pourquoi le témoin met une vingtaine de secondes à se rallumer : le condensateur a besoin de $5\tau$ pour atteindre plus de $99\mathrm{\%}$ de sa tension finale.

Étape 3 — Vérifier la tension atteinte. À $t=5\tau$, la tension vaut $u_C=E(1-e^{-5})=300\times (1-\mathrm{0,007})\approx 298\text{ V},$ soit pratiquement les $300\text{ V}$ visés. Amine note au passage que la tension $u_C$ est partie de $0$ par continuité, et a grimpé en exponentielle, sans aucun saut.

Étape 4 — Calculer l'énergie stockée. Une fois chargé, le condensateur emmagasine $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 800\times {10}^{-6}\times (300{)}^2=36\text{ J}\mathrm{.}$ Trente-six joules accumulés patiemment en vingt secondes.

Étape 5 — Comprendre la décharge éclair. Quand Amine déclenche, le condensateur se décharge non plus dans $5\text{ k}\mathrm{\Omega }$, mais dans le tube du flash, de résistance bien plus faible. La constante de temps de décharge devient minuscule (de l'ordre de la milliseconde), donc les $36\text{ J}$ sont libérés en quelques millisecondes : une puissance instantanée énorme, d'où l'éclair aveuglant.

Conclusion. Amine a tout compris : le flash exploite un déséquilibre de temps. La charge est lente ($\tau =\mathrm{4,0}\text{ s}$, vingt secondes d'attente) parce que $R$ est grande ; la décharge est foudroyante parce que la résistance du tube est minuscule. Entre les deux, le condensateur n'a fait que stocker puis rendre de l'énergie, $E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}_C^2$. C'est exactement la même logique dans une minuterie RC d'escalier ou un essuie-glace temporisé : on choisit $R$ et $C$ pour régler un délai. Au chapitre suivant, ce même condensateur, associé à une bobine, ne se contentera plus de se charger : il oscillera (le circuit RLC). En classes préparatoires, tu généraliseras tout cela sous le nom de régimes transitoires et d'équations différentielles linéaires.

À retenir