Dipôle RL

La bobine

Jusqu'ici, tes circuits ne contenaient que des résistances et des condensateurs. La bobine est un troisième dipôle fondamental. Concrètement, c'est un long fil conducteur enroulé en spires serrées, souvent autour d'un noyau de fer doux qui renforce ses effets. Quand un courant la traverse, elle crée un champ magnétique ; et c'est en réagissant aux variations de ce champ qu'elle acquiert son comportement si particulier.

Le terme ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ est la dérivée de l'intensité par rapport au temps : il mesure à quelle vitesse le courant varie. Retiens l'idée centrale : la tension aux bornes d'une bobine idéale ne dépend pas de la valeur du courant, mais de sa variation. Si le courant est constant, ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=0$ et la bobine idéale se comporte comme un simple fil.

Exemple 1. Une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,50}\text{ H}$ est parcourue par un courant qui augmente régulièrement de $\mathrm{2,0}\text{ A}$ par seconde, soit ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=\mathrm{2,0}\text{ A/s}$. Si on la suppose idéale, la tension à ses bornes vaut $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=\mathrm{0,50}\times \mathrm{2,0}=\mathrm{1,0}\text{ V}\mathrm{.}$

Exemple 2. La même bobine est traversée par un courant constant $i=\mathrm{3,0}\text{ A}$. Comme idéale, sa tension est nulle : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=0$. Si l'on tient compte d'une résistance interne $r=\mathrm{4,0}\mathrm{\Omega }$, alors $u_L=ri=\mathrm{4,0}\times \mathrm{3,0}=12\text{ V}$ : seule la résistance du fil subsiste en régime permanent.

L'opposition aux variations de courant

Le comportement le plus important de la bobine est qu'elle s'oppose aux variations de l'intensité qui la traverse. Augmente-t-on le courant ? Elle freine cette augmentation. Le coupe-t-on ? Elle tente de le maintenir. C'est une manifestation de la loi de modération (ou loi de Lenz, que tu formaliseras en classes préparatoires) : la bobine réagit toujours de manière à contrarier le changement qu'on lui impose.

Établissement du courant dans un dipôle RL

Branchons en série un générateur de tension $E$, une résistance $R$ et une bobine $(L,r)$, l'ensemble commandé par un interrupteur. À l'instant où Karim ferme le circuit, on pourrait croire que le courant prend aussitôt sa valeur maximale. Il n'en est rien : la bobine s'oppose à l'apparition du courant, et celui-ci s'établit progressivement.

Vérifier que la solution satisfait l'équation

Contrôlons que $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$ est bien solution de $L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}+Ri=E$, avec $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$. Dérivons, en notant que ${\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{R}{L}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{E}{R}}\times {\displaystyle \frac{1}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }={\displaystyle \frac{E}{R}}\times {\displaystyle \frac{R}{L}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }={\displaystyle \frac{E}{L}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }\mathrm{.}$ Reportons dans le membre de gauche de l'équation : $L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}+Ri=L\times {\displaystyle \frac{E}{L}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+R\times {\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+E-E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }=E\mathrm{.}$ L'équation est satisfaite à chaque instant, et la condition initiale l'est aussi : $i(0)={\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^0)=0$, comme l'impose la continuité de l'intensité. La fonction proposée est donc bien la solution du problème.

Pour alléger, on suppose ici la résistance interne $r$ négligeable devant $R$ ; sinon, il suffit de remplacer $R$ par la résistance totale $R_{\text{tot}}=R+r$. À $t=0$, le courant vaut bien $0$ (continuité de l'intensité) ; quand $t$ devient grand, $e^{-t\mathrm{/}\tau }\to 0$ et le courant tend vers $I=E\mathrm{/}R$. Entre les deux, la montée est une exponentielle douce, jamais un saut.

Exemple 1. Un circuit comporte $E=12\text{ V}$, $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$ et une bobine idéale $L=\mathrm{0,30}\text{ H}$. La valeur finale du courant est $I={\displaystyle \frac{E}{R}}={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{6,0}}}=\mathrm{2,0}\text{ A},$ et la constante de temps vaut $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}}{\mathrm{6,0}}}=\mathrm{0,050}\text{ s}$. Le courant suit donc $i(t)=\mathrm{2,0}(1-e^{-t\mathrm{/}\mathrm{0,050}})$.

À la fermeture et au régime permanent

Juste après la fermeture, le courant est nul mais varie vite : toute la tension $E$ se retrouve aux bornes de la bobine, qui « encaisse » le changement. Au fil du temps, la variation de $i$ ralentit, la tension de la bobine diminue, et la résistance prend le relais. En régime permanent (au bout de quelques $\tau$), le courant est constant à $I=E\mathrm{/}R$ : ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=0$, la bobine idéale ne fait plus rien, et tout se passe comme si elle était un simple fil.

Exemple 2. Avec les valeurs de l'exemple 1, à l'instant $t=\tau =\mathrm{0,050}\text{ s}$ : $i(\tau )=\mathrm{2,0}(1-e^{-1})=\mathrm{2,0}\times (1-\mathrm{0,37})\approx \mathrm{1,26}\text{ A},$ soit environ $63\mathrm{\%}$ de la valeur finale $\mathrm{2,0}\text{ A}$. Le courant n'a pas encore atteint son maximum : il faut attendre encore.

Rupture du courant

Que se passe-t-il quand Karim ouvre l'interrupteur, alors que le courant a atteint sa valeur établie $I_0$ ? La bobine, fidèle à sa nature, s'oppose à la disparition du courant. Celui-ci ne tombe pas instantanément à zéro : il décroît progressivement, en suivant à nouveau une exponentielle.

Exemple 1. Une bobine parcourue par $I_0=\mathrm{2,0}\text{ A}$ dans un circuit de constante de temps $\tau =\mathrm{0,050}\text{ s}$ voit son courant décroître selon $i(t)=\mathrm{2,0}{e}^{-t\mathrm{/}\mathrm{0,050}}$. À $t=\tau$ : $i(\tau )=\mathrm{2,0}{e}^{-1}\approx \mathrm{2,0}\times \mathrm{0,37}=\mathrm{0,74}\text{ A},$ soit $37\mathrm{\%}$ du courant initial. Il en reste encore une part notable.

La surtension et l'étincelle de rupture

Voici le phénomène spectaculaire. À l'ouverture, la bobine tente de maintenir le courant alors que la résistance du circuit devient soudain très grande (l'air de l'interrupteur ouvert est quasi isolant). Or $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ : si $i$ chute brutalement, ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ est énorme en valeur absolue, et la tension aux bornes de la bobine peut atteindre des centaines de volts — bien au-delà de $E$. Cette surtension suffit à ioniser l'air entre les contacts : une étincelle jaillit, c'est l'étincelle de rupture qu'a vue Karim. Pour protéger les circuits, on place souvent en parallèle de la bobine une diode de roue libre, qui offre au courant un chemin par lequel s'éteindre en douceur.

Exemple 2. Dans un système d'allumage ou un relais, une bobine de $L=\mathrm{0,10}\text{ H}$ parcourue par $I_0=\mathrm{1,0}\text{ A}$ est coupée en une durée très brève, disons $\mathrm{\Delta }t\approx \mathrm{0,1}\text{ ms}=\mathrm{1,0}\times {10}^{-4}\text{ s}$. La tension induite est de l'ordre de $\mathrm{\mid }{u}_L\mathrm{\mid }\approx L{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{\Delta }t}}=\mathrm{0,10}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}}{\mathrm{1,0}\times {10}^{-4}}}=1000\text{ V}\mathrm{.}$ Mille volts à partir d'une pile de quelques volts : voilà pourquoi l'étincelle apparaît.

La constante de temps

Tu as croisé deux fois la grandeur $\tau =L\mathrm{/}R$. Elle gouverne entièrement la rapidité des régimes transitoires : un grand $\tau$ signifie un courant lent à s'établir ou à s'éteindre, un petit $\tau$ un courant qui réagit presque instantanément. C'est la constante de temps du dipôle RL.

Vérifions qu'il s'agit bien d'un temps par analyse dimensionnelle. De $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$, on tire $[L]={\displaystyle \frac{[u][t]}{[i]}}$, et de la loi d'Ohm $[R]={\displaystyle \frac{[u]}{[i]}}$. Donc $\left[{\displaystyle \frac{L}{R}}\right]={\displaystyle \frac{[u][t]\mathrm{/}[i]}{[u]\mathrm{/}[i]}}=[t]\mathrm{.}$ Le rapport $L\mathrm{/}R$ est bien une durée.

Exemple 1. Avec $L=\mathrm{0,30}\text{ H}$ et $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$ : $\tau ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}}{\mathrm{6,0}}}=\mathrm{0,050}\text{ s}=50\text{ ms}$. Si l'on garde la même bobine mais qu'on divise la résistance par deux ($R=\mathrm{3,0}\mathrm{\Omega }$), alors $\tau$ double : $\tau =\mathrm{0,10}\text{ s}$. Plus $R$ est petit (ou $L$ grand), plus le régime transitoire est lent.

Lecture graphique et règle des 5 τ

La constante de temps se lit directement sur la courbe. À $t=\tau$, le courant a parcouru $63\mathrm{\%}$ du chemin vers sa valeur finale (en établissement), ou il en reste $37\mathrm{\%}$ (en rupture). Graphiquement, la tangente à l'origine coupe l'asymptote (ou l'axe des temps) précisément à l'abscisse $t=\tau$ : c'est la méthode de détermination la plus rapide. En pratique, on considère que le régime permanent est atteint au bout de $5\tau$ : à cet instant, $e^{-5}\approx \mathrm{0,007}$, soit moins de $1\mathrm{\%}$ d'écart à la valeur finale.

Exemple 2. Pour $\tau =\mathrm{0,050}\text{ s}$, le régime permanent est atteint après $5\tau =5\times \mathrm{0,050}=\mathrm{0,25}\text{ s}$. Au-delà d'un quart de seconde, le courant est, à toutes fins utiles, stabilisé à sa valeur finale.

Énergie emmagasinée dans une bobine

Pourquoi le courant ne peut-il pas sauter brutalement, et pourquoi une étincelle se produit-elle à la rupture ? La réponse profonde est énergétique. Une bobine parcourue par un courant emmagasine de l'énergie sous forme magnétique, et cette énergie, comme toute énergie, ne peut ni apparaître ni disparaître instantanément.

Cette énergie est le pendant de l'énergie ${\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$ stockée par un condensateur : là où le condensateur stocke dans son champ électrique une énergie liée à la tension, la bobine stocke dans son champ magnétique une énergie liée à l'intensité. Comme $E_L$ dépend de $i^2$, l'énergie ne peut pas varier instantanément — sinon il faudrait une puissance infinie. C'est la raison physique de la continuité de l'intensité : $i$ ne saute jamais.

Exemple 1. La bobine $L=\mathrm{0,30}\text{ H}$ parcourue par $i=\mathrm{2,0}\text{ A}$ stocke $E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{0,30}\times (\mathrm{2,0}{)}^2=\mathrm{0,60}\text{ J}\mathrm{.}$

Exemple 2. Si l'on double le courant ($i=\mathrm{4,0}\text{ A}$), l'énergie est multipliée par quatre : $E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{0,30}\times (\mathrm{4,0}{)}^2=\mathrm{2,4}\text{ J}$. L'énergie magnétique croît comme le carré de l'intensité.

La restitution à la rupture

À l'ouverture, toute cette énergie magnétique doit aller quelque part : elle ne peut pas s'évanouir. Privée du générateur, la bobine restitue son énergie. Si aucun chemin n'est offert au courant, elle la dissipe brutalement dans l'arc électrique de l'étincelle : c'est cette énergie ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}_0^2$ qui chauffe et ionise l'air entre les contacts. La diode de roue libre, elle, offre un chemin doux : l'énergie s'y dissipe lentement en chaleur, sans étincelle.

Pièges classiques

1. Croire que le courant s'établit instantanément à la fermeture. À cause de la bobine, le courant part de $0$ et monte progressivement selon $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$. C'est l'intensité qui est continue dans un circuit RL, jamais brutale.

2. Confondre bobine et condensateur. Le condensateur s'oppose aux variations de tension ($u$ est continue, ${\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$), la bobine aux variations d'intensité ($i$ est continue, ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2$). Ce sont des comportements duaux, à ne pas intervertir.

3. Oublier la résistance interne $r$ de la bobine. Une bobine réelle vaut $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}+ri$. En régime permanent, sa tension n'est pas nulle mais $ri$, et la constante de temps devient $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R+r}}$. Ne néglige $r$ que si l'énoncé l'autorise.

4. Se tromper sur le sens des 63 % et 37 %. À $t=\tau$, en établissement le courant a atteint $63\mathrm{\%}$ de sa valeur finale ; en rupture il en reste $37\mathrm{\%}$. Les deux pourcentages sont complémentaires ($63+37=100$), mais ne décrivent pas la même phase.

5. Mal calculer la constante de temps. Pour le dipôle RL, $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$ — et non $RL$ ni ${\displaystyle \frac{R}{L}}$. Attention : ce n'est pas la même formule que pour le RC ($\tau =RC$). Vérifie toujours l'homogénéité : $L\mathrm{/}R$ donne bien des secondes.

6. Penser que l'étincelle vient du générateur. La surtension de rupture n'est pas fournie par la pile : elle provient de l'énergie magnétique ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}_0^2$ stockée dans la bobine, qui se libère quand $i$ chute brutalement. Une pile de $12\text{ V}$ peut ainsi engendrer une étincelle de plusieurs centaines de volts.

Application concrète

Amine installe une serrure électrique à commande d'électroaimant sur le portail de la maison familiale à Meknès. L'électroaimant est une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,40}\text{ H}$ et de résistance interne négligeable, alimentée par un bloc $E=12\text{ V}$ à travers une résistance de protection $R=\mathrm{8,0}\mathrm{\Omega }$. Amine veut comprendre, en physicien, comment le dispositif se déclenche et pourquoi un petit composant a été ajouté en parallèle de la bobine.

Étape 1 — Calculer la constante de temps. Le dipôle RL a pour constante de temps $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}}{\mathrm{8,0}}}=\mathrm{0,050}\text{ s}=50\text{ ms}\mathrm{.}$ C'est l'échelle de durée qui gouverne aussi bien l'attraction que le relâchement de l'électroaimant.

Étape 2 — Déterminer le courant final. En régime permanent, la bobine idéale se comporte comme un fil et le courant atteint $I={\displaystyle \frac{E}{R}}={\displaystyle \frac{12}{\mathrm{8,0}}}=\mathrm{1,5}\text{ A}\mathrm{.}$ C'est ce courant établi qui crée le champ magnétique assez fort pour attirer le pêne et déverrouiller la serrure.

Étape 3 — Estimer le temps d'établissement. Le courant est considéré comme établi au bout de $5\tau =5\times \mathrm{0,050}=\mathrm{0,25}\text{ s}\mathrm{.}$ La serrure met donc environ un quart de seconde à se déclencher après l'appui sur le bouton : un délai imperceptible pour Amine, mais bien réel pour la physique.

Étape 4 — Calculer l'énergie magnétique stockée. Une fois le courant établi à $I=\mathrm{1,5}\text{ A}$, la bobine emmagasine $E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{0,40}\times (\mathrm{1,5}{)}^2=\mathrm{0,45}\text{ J}\mathrm{.}$ Cette énergie magnétique est le « réservoir » qui maintient le champ tant que le courant circule.

Étape 5 — Expliquer l'étincelle et la diode de roue libre. Quand Amine relâche le bouton, l'interrupteur s'ouvre et le courant cherche à tomber à zéro en une durée très brève. La bobine s'y oppose : $u_L=L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ explose en valeur absolue, l'énergie $\mathrm{0,45}\text{ J}$ doit se libérer, et une étincelle ionise l'air aux contacts — exactement celle qu'avait vue Karim sur sa sonnette. Pour l'éviter, le constructeur a placé une diode de roue libre en parallèle de la bobine : à l'ouverture, le courant s'écoule par la diode et l'énergie se dissipe doucement en chaleur, sans surtension destructrice ni crépitement.

Conclusion. En cinq étapes, Amine a décrit tout le cycle de l'électroaimant : constante de temps $\tau =L\mathrm{/}R$, courant final $E\mathrm{/}R$, durée d'établissement $5\tau$, énergie magnétique ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2$, et l'origine de l'étincelle de rupture. C'est la même grammaire que celle du condensateur au chapitre RC, transposée à la bobine : à la charge progressive répond l'établissement progressif, à $\tau =RC$ répond $\tau =L\mathrm{/}R$, à ${\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$ répond ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{i}^2$. Au chapitre suivant, en associant bobine et condensateur dans un circuit RLC, tu verras le courant non plus monter ou descendre, mais osciller. Et en classes préparatoires, la loi de Lenz-Faraday et les équations différentielles linéaires donneront le cadre général de tous ces régimes transitoires.

À retenir