Dipôle RL — exercices corrigés

Dans quelle unité s'exprime l'inductance $L$ d'une bobine ?

Pour une bobine idéale ($r=0$), comment s'exprime la tension $u_L$ à ses bornes en convention récepteur ?

À quelles variations une bobine s'oppose-t-elle ?

Dans un circuit contenant une bobine, l'intensité du courant peut subir un saut brutal (une discontinuité) à la fermeture de l'interrupteur. Cette affirmation est-elle vraie ?

Quelle est l'expression de la constante de temps $\tau$ d'un dipôle RL ?

Quelle est l'expression de l'énergie emmagasinée par une bobine d'inductance $L$ parcourue par un courant $i$ ?

Lors de l'établissement du courant dans un dipôle RL (bobine idéale) alimenté par $E=12$ V à travers $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$, vers quelle valeur finale $I$ tend l'intensité (en A) ?

Quelle est la loi $i(t)$ qui décrit l'établissement du courant dans un dipôle RL fermé sur une tension continue $E$ ?

Lors de la rupture du courant dans un dipôle RL (intensité initiale $I_0$), quelle loi suit $i(t)$ ?

En régime permanent, une bobine idéale parcourue par un courant constant se comporte comme un simple fil (sa tension est nulle). Cette affirmation est-elle vraie ?

Un dipôle RL comporte une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,30}$ H et une résistance $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$. Calcule la constante de temps $\tau$ en millisecondes (ms).

Dans un dipôle RL alimenté par $E=12$ V à travers une résistance $R=\mathrm{8,0}\mathrm{\Omega }$ (bobine idéale), quelle est l'intensité finale $I$ du courant en régime permanent ?

Une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,30}$ H est parcourue par un courant $i=\mathrm{2,0}$ A. Calcule l'énergie magnétique $E_L$ qu'elle emmagasine, en millijoules (mJ).

Lors de l'établissement du courant, à l'instant $t=\tau$, quel pourcentage de sa valeur finale l'intensité a-t-elle atteint ?

Au bout de combien de constantes de temps considère-t-on en pratique que le régime permanent est atteint ?

À quoi est due la résistance interne $r$ d'une bobine réelle ?

Karim observe une étincelle à l'ouverture de l'interrupteur d'un circuit contenant une bobine. Quelle en est l'origine ?

À quoi sert une diode de roue libre placée en parallèle d'une bobine ?

La constante de temps $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$ d'un dipôle RL s'exprime en secondes. Cette affirmation est-elle vraie ?

Le condensateur s'oppose aux variations de tension tandis que la bobine s'oppose aux variations d'intensité. Cette affirmation est-elle vraie ?

Une bobine idéale d'inductance $L=\mathrm{0,50}$ H est parcourue par un courant qui augmente régulièrement de $\mathrm{3,0}$ A chaque seconde, soit ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}=\mathrm{3,0}$ A/s. Quelle est la tension $u_L$ à ses bornes ?

Une bobine idéale est traversée par un courant constant $i=\mathrm{3,0}$ A. Que vaut la tension $u_L$ à ses bornes ?

Une bobine réelle de résistance interne $r=\mathrm{4,0}\mathrm{\Omega }$ est traversée par un courant constant $i=\mathrm{3,0}$ A. Quelle est la tension $u_L$ à ses bornes ?

Dans un dipôle RL, le courant s'établit selon $i(t)=\mathrm{2,0}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$ avec $\tau =50$ ms. Quelle est l'intensité à l'instant $t=\tau$ ? On prend $e^{-1}\approx \mathrm{0,37}$.

Une bobine parcourue par $I_0=\mathrm{2,0}$ A voit son courant décroître à la rupture selon $i(t)=\mathrm{2,0}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ avec $\tau =50$ ms. Quelle est l'intensité à $t=\tau$ ? On prend $e^{-1}\approx \mathrm{0,37}$.

On garde la même bobine dans un dipôle RL, mais on divise par deux la résistance $R$. Comment évolue la constante de temps $\tau$ ?

Un dipôle RL comporte une bobine d'inductance $L=\mathrm{0,20}$ H et de résistance interne $r=\mathrm{2,0}\mathrm{\Omega }$, en série avec une résistance $R=\mathrm{8,0}\mathrm{\Omega }$. Calcule la constante de temps $\tau$ en millisecondes.

On double l'intensité du courant traversant une bobine. Par quel facteur l'énergie magnétique emmagasinée est-elle multipliée ?

Un dipôle RL a pour constante de temps $\tau =50$ ms. Au bout de quelle durée, en millisecondes, considère-t-on que le régime permanent est atteint ?

Sur la courbe d'établissement du courant $i(t)$, où la tangente à l'origine coupe-t-elle l'asymptote horizontale $i=E\mathrm{/}R$ ?

Yasmine affirme : « Pour un dipôle RL, la constante de temps est $\tau =RL$, comme pour le RC où $\tau =RC$. » A-t-elle raison ?

Pour un dipôle RL série (bobine idéale) soumis à la tension continue $E$, quelle équation différentielle traduit la loi des mailles ?

Dans une serrure électrique à Meknès, une bobine $L=\mathrm{0,40}$ H est alimentée par $E=12$ V via $R=\mathrm{8,0}\mathrm{\Omega }$ (bobine idéale). Une fois le courant établi, quelle énergie magnétique $E_L$ la bobine emmagasine-t-elle, en millijoules ?

Amine mesure sur un oscilloscope une constante de temps $\tau =40$ ms pour un dipôle RL de résistance $R=20\mathrm{\Omega }$. Quelle est l'inductance $L$ de la bobine, en henrys ?

Juste après la fermeture de l'interrupteur d'un dipôle RL (bobine idéale), à $t=0^{+}$, comment se répartit la tension $E$ du générateur ?

Un dipôle RL avec une grande constante de temps $\tau$ établit son courant plus lentement qu'un dipôle de petit $\tau$. Cette affirmation est-elle vraie ?

Dans un relais, une bobine $L=\mathrm{0,10}$ H parcourue par $I_0=\mathrm{1,0}$ A est coupée en une durée très brève $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,2}$ ms. Estime l'ordre de grandeur de la tension induite $\mathrm{\mid }{u}_L\mathrm{\mid }$ à l'ouverture, en volts.

À l'ouverture d'un dipôle RL muni d'une diode de roue libre, que devient l'énergie magnétique ${\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}_0^2$ stockée dans la bobine ?

Salma lit une courbe de rupture et affirme : « À $t=\tau$, le courant a atteint $63\mathrm{\%}$ de sa valeur, comme toujours. » A-t-elle raison ?

La sonnette de Karim, à Fès, contient un électroaimant : une bobine idéale $L=\mathrm{0,20}$ H alimentée par $E=\mathrm{6,0}$ V à travers $R=10\mathrm{\Omega }$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$ du dipôle (en ms) et l'intensité finale $I$ (en A). (b) Explique pourquoi une étincelle apparaît quand Karim relâche le bouton.

En révisant les régimes transitoires à Rabat, Karim transpose ce qu'il sait du condensateur à la bobine. Il écrit : « Comme le condensateur impose la continuité de la tension à ses bornes, la bobine impose elle aussi la continuité de la tension $u_L$ ; et elle stocke une énergie ${\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$. » A-t-il raison ?

À Tanger, Salma étudie un dipôle RL bâti avec une bobine réelle d'inductance $L=\mathrm{0,40}\text{ H}$ et de résistance interne $r=\mathrm{2,0}\mathrm{\Omega }$, en série avec $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$ et un générateur $E=16\text{ V}$. Elle annonce : « La constante de temps est $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}}{\mathrm{6,0}}}\approx \mathrm{0,067}\text{ s}$. » Quelle est en réalité la valeur de $\tau$ ?

Amine installe une serrure électrique à électroaimant sur le portail familial à Meknès. La bobine, supposée idéale, a pour inductance $L=\mathrm{0,40}$ H ; elle est alimentée par $E=12$ V à travers une résistance de protection $R=\mathrm{8,0}\mathrm{\Omega }$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$ (en ms) et l'intensité finale $I$ (en A). (b) Au bout de combien de temps la serrure se déclenche-t-elle (régime permanent) ? (c) Calcule l'énergie magnétique $E_L$ stockée une fois le courant établi (en mJ), et explique le rôle de la diode de roue libre ajoutée en parallèle.

Karim affirme : « Dès que je ferme l'interrupteur d'un circuit RL, le courant prend instantanément sa valeur maximale $E\mathrm{/}R$, comme dans un circuit avec seulement une résistance. »

(a) Karim a-t-il raison ? Justifie en t'appuyant sur le comportement de la bobine. (b) Donne la valeur du courant à $t=0^{+}$ et son expression $i(t)$ par la suite.

Dans un dipôle RL, le courant s'établit selon $i(t)=I(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$ avec $\tau =50$ ms. Au bout de quelle durée $t$ (en ms) le courant atteint-il la moitié de sa valeur finale $I$ ? On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,69}$.

Salma observe une étincelle de plusieurs centaines de volts à l'ouverture d'un circuit RL alimenté par une simple pile de $12$ V. Elle conclut : « C'est forcément la pile qui a produit cette tension de centaines de volts. » A-t-elle raison ?

Deux dipôles RL sont alimentés par la même tension $E$. Le dipôle 1 a $L_1=\mathrm{0,20}$ H et $R_1=10\mathrm{\Omega }$ ; le dipôle 2 a $L_2=\mathrm{0,60}$ H et $R_2=10\mathrm{\Omega }$. Lequel établit son courant le plus rapidement, et atteignent-ils la même valeur finale ?

Un dipôle RL alimenté par $E=20$ V atteint en régime permanent un courant $I=\mathrm{4,0}$ A. On mesure une constante de temps $\tau =\mathrm{1,0}$ s. Détermine l'inductance $L$ de la bobine (supposée idéale), en henrys.

Une bobine idéale $L=\mathrm{0,25}$ H est parcourue par un courant établi $I_0=\mathrm{1,0}$ A. À l'ouverture du circuit, toute son énergie magnétique se dissipe dans l'étincelle. Quelle énergie (en mJ) est dissipée ?

Sur l'oscillogramme d'établissement d'un courant, Amine lit que l'asymptote vaut $I=\mathrm{2,0}$ A. Il repère l'instant où le courant atteint $\mathrm{1,26}$ A (environ $63\mathrm{\%}$ de $\mathrm{2,0}$ A) : il lit $t=30$ ms. Que vaut la constante de temps $\tau$ ?

On veut vérifier que $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$, avec $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$, est bien solution de $E=Ri+L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$. Quelle est l'expression de ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$ ?

Yasmine révise ses chapitres RC et RL ensemble. Elle dresse un tableau de correspondances mais hésite sur plusieurs lignes.

(a) Quelle grandeur le condensateur impose-t-il continue ? Et la bobine ? (b) Donne l'énergie stockée par chacun, et la constante de temps de chaque dipôle. (c) Pourquoi dit-on que la bobine et le condensateur sont des composants « duaux » ?

Le courant d'un dipôle RL s'établit selon $i(t)=\mathrm{2,0}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$. Quelle est l'intensité (en A) à l'instant $t=2\tau$ ? On donne $e^{-2}\approx \mathrm{0,135}$.

Une bobine réelle d'inductance $L=\mathrm{0,30}$ H et de résistance interne $r=\mathrm{2,0}\mathrm{\Omega }$ est mise en série avec une résistance $R=\mathrm{4,0}\mathrm{\Omega }$ et alimentée par $E=12$ V. Quelle est l'intensité finale $I$ du courant en régime permanent, en ampères ?

Karim doit dimensionner un circuit RL pour qu'il atteigne le régime permanent en environ $\mathrm{0,10}$ s. Il dispose d'une bobine $L=\mathrm{0,40}$ H et veut choisir $R$.

(a) Sachant qu'on atteint le régime permanent vers $5\tau$, quelle constante de temps $\tau$ vise-t-il ? (b) En déduis la résistance $R$ à choisir. (c) Karim hésite : « Pour aller plus vite, faut-il augmenter ou diminuer $R$ ? » Réponds-lui.

Une bobine $L=\mathrm{0,40}$ H voit son courant passer de $i_1=\mathrm{1,0}$ A à $i_2=\mathrm{2,0}$ A. De combien (en mJ) augmente son énergie magnétique ?

Karim affirme : « À l'instant $t=0^{+}$ de la fermeture d'un dipôle RL, la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ est maximale, puisque la tension $E$ y est tout entière appliquée. » A-t-il raison ?

Pendant l'établissement du courant dans un dipôle RL idéal, comment évolue la tension $u_L$ aux bornes de la bobine, depuis $t=0^{+}$ jusqu'au régime permanent ?

Amine s'intéresse au système d'allumage de sa voiture à Casablanca. Une bobine d'allumage $L=\mathrm{0,15}$ H est parcourue par un courant établi $I_0=\mathrm{4,0}$ A. À l'allumage, un rupteur coupe ce courant en une durée très brève $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,1}$ ms.

(a) Calcule l'énergie magnétique stockée dans la bobine juste avant la coupure (en mJ). (b) Estime l'ordre de grandeur de la surtension $\mathrm{\mid }{u}_L\mathrm{\mid }$ produite (en V). (c) Explique le lien entre cette surtension et l'allumage du moteur.

À la rupture, le courant décroît selon $i(t)=I_0{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ avec $\tau =40$ ms. Au bout de quelle durée $t$ (en ms) le courant ne vaut-il plus que $10\mathrm{\%}$ de $I_0$ ? On donne $\ln 10\approx \mathrm{2,30}$.

Salma affirme : « Dans un dipôle RL, comme l'intensité est continue, la tension $u_L$ aux bornes de la bobine est forcément continue elle aussi. » A-t-elle raison ?

Yasmine étudie l'électroaimant d'une grue de levage dans le port de Casablanca. La bobine, supposée idéale, a pour inductance $L=\mathrm{2,0}$ H ; elle est alimentée par $E=24$ V à travers une résistance totale $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$. On donne $e^{-1}\approx \mathrm{0,37}$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$ (en ms) et l'intensité finale $I$ (en A). (b) Calcule l'intensité atteinte à $t=\tau$ (en A), puis l'énergie magnétique stockée en régime permanent (en J). (c) Yasmine remarque qu'à la coupure, l'électroaimant ne lâche pas sa charge instantanément. Explique pourquoi, et propose la fonction d'une diode de roue libre dans ce contexte.

Restitution organisée de connaissances. On considère un dipôle RL série : un générateur de tension constante $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$ et une bobine idéale d'inductance $L$ (résistance interne négligée). À l'instant $t=0$, Karim ferme l'interrupteur ; le courant initial est nul, $i(0)=0$.

1. En appliquant la loi des mailles, établis l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$.
2. Vérifie que la fonction $i(t)={\displaystyle \frac{E}{R}}(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$, avec $\tau ={\displaystyle \frac{L}{R}}$, est solution de cette équation, en la dérivant puis en la substituant.
3. Contrôle la condition initiale, puis calcule $\tau$ pour $L=\mathrm{0,30}\text{ H}$ et $R=\mathrm{6,0}\mathrm{\Omega }$.