Dipôle RC — exercices corrigés

Qu'est-ce qu'un condensateur en électricité ?

Quelle relation lie la charge $q$ d'un condensateur à la tension $u_C$ à ses bornes ?

Dans quelle unité s'exprime la capacité $C$ d'un condensateur ?

Quelle relation exprime l'intensité $i$ qui traverse un condensateur ?

Lorsqu'un condensateur est entièrement chargé et que sa tension $u_C$ ne varie plus, aucun courant ne le traverse.

Quelle est l'expression de la constante de temps $\tau$ d'un dipôle RC ?

La constante de temps $\tau =RC$ est homogène à un temps et s'exprime en secondes.

Pendant la charge d'un condensateur initialement déchargé, quelle est l'expression de la tension $u_C(t)$ ?

Pendant la décharge d'un condensateur initialement chargé à la tension $E$, quelle est l'expression de $u_C(t)$ ?

Un condensateur se charge sous une tension finale $E=\mathrm{10,0}\text{ V}$. À l'instant $t=\tau$, la tension a atteint $63\mathrm{\%}$ de $E$. Quelle est la valeur de $u_C(\tau )$, en volts ?

Au bout d'une durée égale à $5\tau$, on considère que la charge du condensateur est pratiquement terminée (régime permanent atteint).

Quelle est l'expression de l'énergie $E_C$ emmagasinée dans un condensateur chargé sous la tension $u_C$ ?

Salma affirme : « Juste après la fermeture de l'interrupteur, la tension $u_C$ aux bornes du condensateur peut sauter brusquement à une valeur non nulle. » A-t-elle raison ?

Un condensateur de capacité $C=200\mu \text{F}$ est chargé sous une tension $u_C=\mathrm{5,0}\text{ V}$. Quelle est la charge $q$ accumulée, exprimée en millicoulombs (mC) ?

Un dipôle RC est constitué d'une résistance $R=\mathrm{2,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$ et d'un condensateur $C=10\mu \text{F}$. Quelle est la constante de temps $\tau$, exprimée en millisecondes (ms) ?

À l'instant initial de la charge, le condensateur est déchargé. Le générateur impose $E=\mathrm{6,0}\text{ V}$ et la résistance vaut $R=\mathrm{2,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$. Quelle est l'intensité initiale $i(0)$, en milliampères (mA) ?

Pendant la charge d'un condensateur, l'intensité du courant augmente progressivement de $0$ jusqu'à sa valeur maximale.

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ pendant la charge d'un dipôle RC alimenté par un générateur de tension $E$ ?

Que signifie une grande constante de temps $\tau$ pour un dipôle RC ?

Sur une courbe de charge $u_C(t)$, on trace la tangente à l'origine. À quelle abscisse cette tangente coupe-t-elle l'asymptote horizontale $u_C=E$ ?

Le circuit temporisé des essuie-glaces de la voiture d'Amine utilise un condensateur $C=30\mu \text{F}$ chargé à travers une résistance $R=\mathrm{5,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$. Quelle est la constante de temps $\tau$ de ce dipôle RC, en millisecondes (ms) ?

Un dipôle RC a une constante de temps $\tau =20\text{ ms}$. Au bout de quelle durée peut-on considérer la charge du condensateur comme pratiquement terminée ? Donne la réponse en millisecondes (ms).

Yasmine mesure l'énergie stockée dans un petit condensateur de $C=500\mu \text{F}$ chargé sous $u_C=\mathrm{6,0}\text{ V}$. Quelle est l'énergie $E_C$ emmagasinée, en millijoules (mJ) ?

Sur une courbe de décharge obtenue à l'oscilloscope, comment lire graphiquement la constante de temps $\tau$ par la méthode des pourcentages ?

Dans un dipôle RC, on double la valeur de la résistance $R$ sans changer $C$ ni $E$. Quelle est la conséquence sur la charge du condensateur ?

Karim affirme : « Si je double la tension de charge d'un condensateur, l'énergie qu'il emmagasine est multipliée par quatre. » A-t-il raison ?

Un condensateur se charge sous $E=\mathrm{12,0}\text{ V}$. À l'instant $t=\tau$, il a atteint $63\mathrm{\%}$ de la tension finale. Quelle est la tension $u_C(\tau )$, en volts ?

Un condensateur chargé sous $E=\mathrm{10,0}\text{ V}$ se décharge dans une résistance. À l'instant $t=\tau$, quelle tension $u_C(\tau )$ reste-t-il aux bornes du condensateur, en volts ?

Lors d'un TP à Casablanca, Salma mesure une constante de temps $\tau =80\text{ ms}$ pour un dipôle RC dont la résistance vaut $R=\mathrm{2,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$. Elle en déduit une capacité $C=40\mu \text{F}$. Son résultat est-il correct ?

Aux bornes d'un condensateur de $C=100\mu \text{F}$, la tension augmente régulièrement de $\mathrm{2,0}\text{ V}$ en $\mathrm{0,50}\text{ s}$. Quelle est l'intensité $i$ qui le traverse, en milliampères (mA) ?

En régime permanent (condensateur entièrement chargé), comment se comporte le condensateur dans le circuit ?

Pour la charge, on a $u_C(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$. Karim affirme : « En remplaçant $t=0$, je trouve $u_C(0)=E$, donc le condensateur part chargé. » A-t-il raison ?

Salma écrit : « Comme la tension $u_C$ est continue, l'intensité $i$ dans le circuit l'est forcément aussi : elle ne peut pas sauter à $t=0$. » A-t-elle raison ?

Deux dipôles RC sont alimentés par le même générateur $E$. Le circuit 1 a ${\tau }_1=\mathrm{2,0}\text{ ms}$, le circuit 2 a ${\tau }_2=\mathrm{8,0}\text{ ms}$. Que peut-on dire ?

L'énergie emmagasinée dans un condensateur est une grandeur continue : elle ne peut ni apparaître ni disparaître instantanément.

Dans un dipôle RC série en charge, la loi des mailles s'écrit $E=u_R+u_C$. Comment obtient-on l'équation différentielle en $u_C$ ?

Un condensateur de $C=100\mu \text{F}$ se décharge non plus dans la grande résistance de charge, mais dans le tube d'un flash de résistance $R=50\mathrm{\Omega }$. Que vaut la constante de temps de décharge $\tau$ ?

Pourquoi le produit $R\times C$ a-t-il la dimension d'un temps ?

Un condensateur de $C=500\mu \text{F}$ est chargé sous $u_C=\mathrm{1,0}\text{ kV}$. Parmi ces valeurs, laquelle correspond à l'énergie $E_C$ emmagasinée ?

Dans l'immeuble d'Amine à Rabat, la minuterie de la cage d'escalier repose sur un dipôle RC : $R=\mathrm{1,0}\text{ M}\mathrm{\Omega }$ et $C=47\mu \text{F}$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$ de ce circuit, en secondes. (b) Explique qualitativement pourquoi augmenter $R$ allonge la durée d'éclairage.

Karim révise les régimes transitoires à Casablanca. Il affirme : « C'est simple, à $t=\tau$ on est toujours à $63\mathrm{\%}$. Donc pour une décharge, à $t=\tau$, la tension $u_C$ est tombée à $63\mathrm{\%}$ de $E$. » A-t-il raison ?

Karim affirme : « Si j'augmente la résistance $R$ du circuit de charge, le condensateur se chargera davantage, c'est-à-dire à une tension finale plus élevée. » A-t-il raison ?

Amine bricole le flash de l'appareil argentique de son grand-père à Fès. Le condensateur a une capacité $C=800\mu \text{F}$, chargé à travers $R=\mathrm{5,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$ par un circuit qui élève la tension jusqu'à $E=300\text{ V}$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$ de la charge. (b) Estime la durée nécessaire pour que la charge soit pratiquement complète. (c) Calcule l'énergie $E_C$ emmagasinée une fois le condensateur chargé à $300\text{ V}$.

Lors d'un TP, Yasmine relève la courbe de charge $u_C(t)$ d'un dipôle RC à l'oscilloscope. La tension finale lue est $E=\mathrm{8,0}\text{ V}$.

(a) Décris la méthode de la tangente à l'origine pour déterminer $\tau$. (b) Décris la méthode des $63\mathrm{\%}$ pour la même courbe. (c) Si Yasmine lit $\tau =12\text{ ms}$ et sait que $C=\mathrm{6,0}\mu \text{F}$, calcule la résistance $R$ du circuit.

Un condensateur de $C=200\mu \text{F}$, chargé sous $E=\mathrm{10,0}\text{ V}$, se décharge. À l'instant $t=\tau$, la tension est tombée à $37\mathrm{\%}$ de $E$. Quelle énergie $E_C$ reste-t-il alors stockée dans le condensateur, en millijoules (mJ) ?

Salma raisonne : « À la décharge, à $t=\tau$, la tension est tombée à $37\mathrm{\%}$ de $E$. Donc l'énergie stockée est aussi tombée à $37\mathrm{\%}$ de sa valeur initiale. » A-t-elle raison ?

Sur une courbe de décharge $u_C(t)=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ avec $E=12\text{ V}$, on lit qu'à $t_1=30\text{ ms}$ la tension vaut $u_C=\mathrm{0,37}\times 12=\mathrm{4,4}\text{ V}$. Quelle est la constante de temps $\tau$ ?

Le condensateur d'un défibrillateur de l'hôpital de Marrakech a une capacité $C=100\mu \text{F}$. Il est chargé sous une tension $u_C=\mathrm{2,0}\text{ kV}$ avant d'être déchargé dans le patient. Quelle énergie $E_C$ délivre-t-il, en joules (J) ?

Un condensateur de $C=100\mu \text{F}$ se charge à travers $R_1=10\text{ k}\mathrm{\Omega }$ avec une constante de temps ${\tau }_1=\mathrm{1,0}\text{ s}$. On remplace la résistance par $R_2=\mathrm{5,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$. Quelle est la nouvelle constante de temps ${\tau }_2$, en secondes ?

Karim affirme : « Quand on ferme l'interrupteur, le condensateur se charge instantanément à la tension $E$ du générateur. » A-t-il raison ?

Yasmine étudie un condensateur de capacité $C=250\mu \text{F}$ chargé sous une tension $u_C=\mathrm{8,0}\text{ V}$.

(a) Calcule la charge $q$ accumulée, en millicoulombs (mC). (b) Calcule l'énergie $E_C$ emmagasinée, en millijoules (mJ). (c) Yasmine double la tension à $16\text{ V}$. Par quel facteur la charge $q$ est-elle multipliée ? Et l'énergie $E_C$ ?

Un condensateur chargé sous $E=\mathrm{6,0}\text{ V}$ se décharge dans une résistance $R=500\mathrm{\Omega }$. Quelle est l'intensité $i$ dans le circuit au tout début de la décharge ($t=0$), en milliampères (mA) ?

À l'instant $t=0$ de la charge d'un dipôle RC (condensateur déchargé), quelle affirmation est correcte ?

Pourquoi l'équation différentielle de la décharge a-t-elle un second membre nul : $RC{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}+u_C=0$ ?

Un condensateur de $C=500\mu \text{F}$ est chargé sous $E=\mathrm{8,0}\text{ V}$, puis se décharge complètement dans une résistance. Quelle énergie totale $E_{\text{dissip}\acute{\text{e}}\text{e}}$ la résistance dissipe-t-elle par effet Joule durant toute la décharge, en millijoules (mJ) ?

Amine conçoit un temporisateur RC pour le portail automatique de sa maison à Agadir : le portail doit rester ouvert un certain temps après le passage d'une voiture. Le circuit utilise $C=100\mu \text{F}$ et une résistance réglable $R$. Le portail se referme quand la tension du condensateur, qui se décharge depuis $E=12\text{ V}$, descend en dessous d'un seuil égal à $37\mathrm{\%}$ de $E$.

(a) Avec $R=\mathrm{2,0}\text{ M}\mathrm{\Omega }$, calcule la constante de temps $\tau$. (b) En déduire la durée d'ouverture du portail (temps pour atteindre le seuil de $37\mathrm{\%}$). (c) Amine veut doubler la durée d'ouverture sans changer $C$. Que doit-il faire de $R$ ?

À l'instant $t=0$ d'une charge, la tangente à la courbe $u_C(t)$ a pour pente ${\displaystyle \frac{E}{\tau }}$. Que signifie physiquement cette pente initiale ?

Un condensateur se charge sous $E=\mathrm{10,0}\text{ V}$. On admet qu'à $t=2\tau$, le facteur $1-e^{-2}$ vaut $\mathrm{0,864}$. Quelle est la tension $u_C(2\tau )$, en volts ?

Salma affirme : « Deux condensateurs identiques sont chargés par le même générateur $E$, mais avec des résistances différentes. Celui qui a la plus grande constante de temps $\tau$ finira par stocker plus d'énergie. » A-t-elle raison ?

Yasmine veut concevoir un circuit RC dont la charge soit pratiquement complète ($5\tau$) en environ $\mathrm{1,0}\text{ s}$, avec un condensateur $C=100\mu \text{F}$. Quelle résistance $R$ doit-elle choisir ?

En TP à Casablanca, Karim étudie un dipôle RC avec $R=\mathrm{4,0}\text{ k}\mathrm{\Omega }$, $C=50\mu \text{F}$ et un générateur $E=\mathrm{6,0}\text{ V}$.

(a) Calcule la constante de temps $\tau$, en millisecondes. (b) Pendant la charge, donne la tension $u_C$ et l'intensité $i$ à l'instant $t=0$, puis en régime permanent. (c) Karim coupe le générateur et laisse le condensateur se décharger dans la même résistance. Décris l'allure de $u_C(t)$ et donne la valeur de $u_C$ après une durée égale à $\tau$.

Restitution organisée de connaissances. On considère un dipôle RC série : un générateur de tension constante $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé. À l'instant $t=0$, Amine ferme l'interrupteur du montage assemblé au lycée à Casablanca.

1. En appliquant la loi des mailles et la relation $i=C{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}}$, établis l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur.
2. Vérifie que la fonction $u_C(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau })$, avec $\tau =RC$, est solution de cette équation, en la dérivant puis en la substituant.
3. Contrôle qu'elle respecte la condition initiale, puis calcule la valeur de $\tau$ (avec son unité) pour $R=10\text{ k}\mathrm{\Omega }$ et $C=100\mu \text{F}$.