Mouvement et forces

Modéliser une action par une force

Quand tu pousses un chariot dans une supérette de Rabat, tu exerces sur lui une action mécanique. Le sol, lui aussi, agit sur le chariot ; la Terre l'attire vers le bas ; l'air le freine légèrement. Avant de calculer quoi que ce soit, le physicien fait le tri : il choisit un système (l'objet qu'il étudie), puis il recense toutes les actions que le reste du monde exerce sur ce système.

Une action mécanique n'est pas un simple nombre : elle a une orientation dans l'espace (tirer vers le haut n'est pas tirer vers la gauche), un point où elle s'applique, et une intensité. L'outil mathématique qui capture tout cela d'un seul coup est le vecteur. On modélise donc chaque action par une force, notée $\vec{F}$, c'est-à-dire un vecteur.

Le newton, unité de force, rend hommage à Isaac Newton. Pour fixer les idées : tenir dans ta main une tablette de chocolat de $100\text{ g}$ demande une force d'environ $1\text{ N}$ ; soulever un sac de ciment de $25\text{ kg}$ en demande environ $250\text{ N}$.

Exemple 1. Amine tire un cartable posé sur une table à l'aide d'une ficelle horizontale, avec une force de $8\text{ N}$. La force qu'il exerce sur le cartable a pour direction l'horizontale (celle de la ficelle), pour sens « vers Amine », pour valeur $F=8\text{ N}$, et pour point d'application le point où la ficelle est attachée au cartable.

Représenter une force : direction, sens, valeur, échelle

Sur un schéma, une force se dessine par une flèche dont l'origine est le point d'application, dont la direction et le sens sont ceux de la force, et dont la longueur est proportionnelle à la valeur. Pour passer d'une longueur en centimètres à une valeur en newtons, on fixe une échelle, par exemple « $1\text{ cm}$ représente $2\text{ N}$ ».

Exemple 2. Avec l'échelle $1\text{ cm}\leftrightarrow 2\text{ N}$, la force de $8\text{ N}$ d'Amine se dessine par une flèche de ${\displaystyle \frac{8}{2}}=4\text{ cm}$ de long. Inversement, une flèche mesurée à $3\text{ cm}$ représenterait une force de $3\times 2=6\text{ N}$.

Interactions : action et réaction

Une action n'est jamais à sens unique. Quand la Terre attire la Lune, la Lune attire la Terre. Quand tu pousses un mur, le mur te pousse en retour — tu le sens dans tes paumes. Deux corps qui agissent l'un sur l'autre forment une interaction, et cette réciprocité est une loi profonde de la nature que tu formaliseras en terminale (troisième loi de Newton).

La notation ${\vec{F}}_{A\mathrm{/}B}$ est précieuse : elle dit toujours qui agit (A) et sur qui (B). Ne la néglige pas. Une force sans « qui sur qui » est une force qu'on ne maîtrise pas.

Le diagramme des actions et le bilan des forces

Pour étudier un système, on dresse son bilan des forces : on isole le système par la pensée, et on recense toutes les forces que les autres corps exercent sur lui — jamais celles que lui exerce sur les autres. C'est le réflexe fondamental de toute la mécanique.

Exemple 3. Un palet de hockey glisse sur la glace. Le système est le palet. Les corps qui agissent sur lui sont : la Terre (action à distance, le poids, vers le bas), la glace (action de contact, la réaction du support, vers le haut), et l'air (action de contact, très faible, qu'on négligera souvent). On ne fait pas figurer l'action du palet sur la glace : elle s'exerce sur la glace, pas sur le palet.

Le piège de Karim : mélanger forces exercées et forces subies

Karim étudie un livre posé sur une table et écrit dans son bilan : « le poids du livre, la réaction de la table, et la force du livre sur la table ». Erreur. Le bilan des forces d'un système ne contient que les forces subies par ce système, c'est-à-dire exercées sur lui par d'autres corps. La force du livre sur la table s'exerce sur la table, pas sur le livre : elle n'a rien à faire dans le bilan du livre. Demande-toi toujours : « cette force agit-elle sur mon système ? ». Si la réponse est non, elle sort du bilan.

Quelques forces usuelles

Quelques forces reviennent dans presque tous les problèmes de mécanique. Les connaître par cœur — leur direction, leur sens, leur expression — t'évitera de réinventer la roue à chaque exercice.

Le poids

La Terre attire tout corps situé près de sa surface : c'est une action à distance, le poids. Tu l'as rencontré au collège ; on en donne ici l'expression vectorielle complète.

Ne confonds jamais la masse $m$ (en kg, une grandeur qui mesure la quantité de matière, identique partout dans l'univers) et le poids $P$ (en N, une force, qui dépend de l'astre) : sur la Lune, où $g\approx \mathrm{1,6}\text{ N/kg}$, ton poids serait six fois plus faible, mais ta masse identique.

Exemple 1. Yasmine a une masse $m=60\text{ kg}$. Avec $g=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$, son poids vaut $P=m\times g=60\times \mathrm{9,8}=588\text{ N}\mathrm{.}$ Avec l'approximation $g=10\text{ N/kg}$, on trouverait $P=600\text{ N}$ : à $2\mathrm{\%}$ près, c'est souvent suffisant.

La réaction d'un support

Quand un objet repose sur un support (table, sol, glace), ou glisse dessus, le support exerce sur lui une force de contact : la réaction du support $\vec{R}$. On la décompose en deux parties bien distinctes.

Exemple 2. Sur la glace très lisse d'une patinoire, le palet de hockey ne subit quasiment pas de frottement : la réaction de la glace est perpendiculaire à la surface, dirigée vers le haut, et la composante tangentielle est négligeable. C'est pourquoi le palet glisse si loin. Sur le bitume de l'autoroute, au contraire, les frottements sur les pneus sont essentiels — sans eux, la voiture ne pourrait ni avancer ni freiner.

La tension d'un fil

Un fil, une corde ou un câble tendu exerce sur l'objet auquel il est attaché une force dirigée le long du fil, vers le fil : la tension $\vec{T}$.

Exemple 3. Un lustre est suspendu au plafond d'un riad par un câble vertical. Le câble exerce sur le lustre une tension $\vec{T}$ verticale, dirigée vers le haut (vers le plafond). Un fil ne peut que tirer : il n'existe pas de tension « vers le bas » qui pousserait le lustre.

La force de rappel d'un ressort

Un ressort étiré ou comprimé cherche à retrouver sa longueur de repos : il exerce une force de rappel, d'autant plus grande qu'on l'écarte davantage de sa position naturelle.

Exemple 4. Un ressort de raideur $k=25\text{ N/m}$ est allongé de $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ell }=8\text{ cm}=\mathrm{0,08}\text{ m}$. Il exerce une force de rappel de valeur $F=k\times \mathrm{\Delta }\mathrm{\ell }=25\times \mathrm{0,08}=\mathrm{2,0}\text{ N},$ dirigée vers sa position de repos. Attention à l'unité : l'allongement entre en mètres, pas en centimètres.

Le piège de Salma : lire la réaction du support comme verticale par habitude

Salma voit une caisse posée sur un plan incliné et dessine la réaction du support verticale, « parce que c'est toujours comme ça ». Faux. La composante normale ${\vec{R}}_N$ est perpendiculaire au support, pas à l'horizontale. Sur un plan incliné, ${\vec{R}}_N$ est donc inclinée, perpendiculaire à la pente. Seul le poids reste toujours vertical (il est dirigé par l'attraction terrestre, indépendamment de la surface). Avant de dessiner ${\vec{R}}_N$, regarde l'orientation réelle du support, pas l'habitude.

Force et variation du vecteur vitesse

Au chapitre précédent « Décrire un mouvement », tu as construit le vecteur variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\vec{v}={\vec{v}}_{\text{final}}-{\vec{v}}_{\text{initial}}$ : il décrit comment le vecteur vitesse change entre deux instants voisins, en valeur et en direction. La grande question de la mécanique est : qu'est-ce qui fait varier le vecteur vitesse ? La réponse tient en un mot : les forces.

Principe (lien qualitatif). Lorsque la somme des forces $\sum \vec{F}$ exercées sur un système n'est pas nulle, le vecteur vitesse du système varie. De plus, le vecteur variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\vec{v}$, entre deux instants voisins, a même direction et même sens que la somme des forces $\sum \vec{F}$ au cours de cet intervalle. Réciproquement, si le vecteur vitesse varie, c'est qu'une somme de forces non nulle agit sur le système.

Autrement dit : une force ne « crée » pas un mouvement déjà existant, elle le modifie. Elle peut faire accélérer (si elle a le sens du mouvement), ralentir (si elle a le sens contraire), ou faire tourner (si elle est perpendiculaire à la vitesse). Dans tous les cas, $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe dans la direction et le sens de $\sum \vec{F}$.

Exemple 1. Yasmine appuie sur l'accélérateur, ligne droite : la somme des forces (en simplifiant, la force motrice l'emporte) est dirigée vers l'avant. Le vecteur variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe donc vers l'avant : la voiture accélère, la vitesse augmente, sa direction reste la même.

Exemple 2. Elle freine : les forces de freinage sont dirigées vers l'arrière, opposées au mouvement. $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe vers l'arrière : le vecteur vitesse diminue en valeur. La voiture ralentit.

Une force perpendiculaire fait tourner

Si la somme des forces est perpendiculaire au vecteur vitesse, elle ne change pas la valeur de la vitesse mais sa direction : le système tourne. C'est exactement ce qui se passe dans un virage.

Exemple 3. Dans le virage de l'autoroute, le frottement des pneus exerce une force dirigée vers l'intérieur du virage, perpendiculaire au mouvement. Le vecteur vitesse garde (à peu près) la même valeur mais change de direction : la voiture tourne sans ralentir. Sans cette force latérale, elle continuerait tout droit — d'où l'importance de ne pas rouler trop vite sur chaussée mouillée, où les frottements diminuent.

Le piège de Karim : croire que la vitesse a le sens de la force

Karim affirme : « la force pointe vers l'avant, donc la vitesse aussi ». Subtilité : c'est la variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ qui a le sens de la force, pas la vitesse $\vec{v}$ elle-même. Quand tu freines, la force pointe vers l'arrière alors que tu avances toujours vers l'avant : ta vitesse est vers l'avant, mais ta variation de vitesse est vers l'arrière (elle diminue). Ne confonds pas $\vec{v}$ (où je vais) et $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ (comment ma vitesse change). C'est $\mathrm{\Delta }\vec{v}$, et lui seul, qui s'aligne sur $\sum \vec{F}$.

Le principe d'inertie

Revenons à la voiture de Yasmine qui roule droit à $120\text{ km/h}$ sans qu'elle touche à rien. Son vecteur vitesse ne varie pas : ni en valeur (toujours $120\text{ km/h}$), ni en direction (toujours tout droit). D'après ce qui précède, cela ne peut signifier qu'une chose : la somme des forces sur la voiture est nulle. La force motrice compense exactement les frottements et la résistance de l'air. Cette idée, retournée dans les deux sens, porte un nom illustre.

Principe d'inertie. Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces exercées sur un système est nulle ($\sum \vec{F}=\vec{0}$), alors ce système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme (trajectoire droite, vitesse constante). Réciproquement, si un système est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen, alors la somme des forces qu'il subit est nulle.

Lis bien la double implication. Forces compensées $\Rightarrow$ repos ou mouvement rectiligne uniforme. Et inversement : repos ou mouvement rectiligne uniforme $\Rightarrow$ forces compensées. C'est cette réciproque qui rend le principe si utile : observer un mouvement rectiligne uniforme te renseigne sur les forces, sans même les mesurer.

Le référentiel galiléen

Le principe ne vaut que dans un certain type de référentiel, dit galiléen. Pour les expériences de durée courte à la surface de la Terre, le référentiel terrestre (lié au sol) est considéré comme galiléen avec une excellente approximation : c'est celui qu'on utilise pour la voiture, le palet, l'ascenseur.

L'équilibre

Un cas particulier capital est celui où le système est au repos et le reste : on dit qu'il est en équilibre. Le principe d'inertie affirme alors que les forces se compensent.

Exemple 1. Le lustre suspendu au plafond du riad est immobile : il est en équilibre. Deux forces seulement s'exercent sur lui : son poids $\vec{P}$ (vers le bas) et la tension du câble $\vec{T}$ (vers le haut). L'équilibre impose $\vec{P}+\vec{T}=\vec{0}$, donc $\vec{T}=-\vec{P}$ : la tension a même valeur que le poids et un sens opposé. Si le lustre a une masse $m=\mathrm{4,0}\text{ kg}$, alors $T=P=mg=\mathrm{4,0}\times \mathrm{9,8}=39\text{ N}$.

Le piège de Karim : croire qu'un mouvement nécessite une force pour se maintenir

C'est l'erreur reine, celle d'Aristote, celle que ton intuition te souffle. Karim raisonne : « la voiture roule, donc il faut une force pour la faire avancer ; si la somme des forces était nulle, elle s'arrêterait ». Faux, et c'est tout le sens du principe d'inertie. Une force n'est pas nécessaire pour maintenir un mouvement rectiligne uniforme — elle n'est nécessaire que pour le modifier. Si la voiture finit par ralentir quand on coupe le moteur, ce n'est pas parce qu'« il faut une force pour avancer », c'est parce que les frottements (eux, bien réels) ne sont plus compensés : la somme des forces devient non nulle et opposée au mouvement. Sur la glace sans frottement, le palet, lui, ne ralentirait jamais. Retiens : les forces ne maintiennent pas le mouvement, elles le changent.

Pièges classiques

1. Confondre masse et poids. La masse $m$ (en kg) mesure la quantité de matière, identique partout. Le poids $P=mg$ (en N) est une force, qui dépend de l'astre via $g$. Sur la Lune, ta masse est inchangée mais ton poids est six fois plus faible. Ne dis jamais « un poids de $60\text{ kg}$ » : $60\text{ kg}$ est une masse, le poids correspondant vaut environ $588\text{ N}$.

2. Mettre dans le bilan les forces exercées par le système. Le bilan des forces d'un système ne contient que les forces exercées sur lui par d'autres corps. La force qu'un livre exerce sur la table s'applique sur la table, pas sur le livre : elle n'entre pas dans le bilan du livre. Demande-toi toujours « cette force agit-elle sur mon système ? ».

3. Dessiner la réaction normale verticale sur un plan incliné. La composante normale ${\vec{R}}_N$ est perpendiculaire au support, pas à l'horizontale. Sur un plan incliné, elle est inclinée. Seul le poids reste toujours vertical.

4. Croire que la vitesse a le sens de la force. C'est le vecteur variation de vitesse $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ qui a le sens de $\sum \vec{F}$, pas le vecteur vitesse $\vec{v}$. En freinant, on avance (vitesse vers l'avant) tandis que la force et $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointent vers l'arrière.

5. Penser qu'un mouvement nécessite une force pour se maintenir. L'erreur d'Aristote. Un mouvement rectiligne uniforme correspond à une somme des forces nulle. Une force ne sert qu'à modifier le vecteur vitesse, jamais à entretenir un mouvement régulier.

6. Donner un sens arbitraire à la tension ou au frottement. Un fil ne peut que tirer (tension dirigée de l'objet vers le fil), jamais pousser. Le frottement, lui, s'oppose toujours au glissement (sens opposé au mouvement relatif). Choisir leur sens au hasard fausse tout le bilan.

Application concrète

Karim est dans l'ascenseur d'un immeuble de Casablanca, debout sur le plancher de la cabine. La cabine, partie du rez-de-chaussée, monte à vitesse constante vers le huitième étage : son mouvement est rectiligne uniforme. Karim, de masse $m=70\text{ kg}$, se demande quelle force le plancher exerce sur lui pendant cette phase. On prend $g=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$ et le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Étape 1 — Choisir le système et le référentiel. Le système est Karim (pas la cabine, pas l'ensemble). Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre, lié à l'immeuble, considéré comme galiléen. Le mouvement de Karim dans ce référentiel est rectiligne (vertical) et uniforme (vitesse constante).

Étape 2 — Dresser le bilan des forces. Deux corps agissent sur Karim : la Terre, qui exerce son poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas, à distance), et le plancher de la cabine, qui exerce une réaction $\vec{R}$ (de contact, vers le haut). On néglige l'air. Karim n'est tenu par aucun fil : pas de tension. Le bilan est donc $\{\vec{P},\vec{R}\}$.

Étape 3 — Appliquer le principe d'inertie. Le mouvement de Karim est rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen. D'après la réciproque du principe d'inertie, la somme des forces qu'il subit est donc nulle : $\sum \vec{F}=\vec{P}+\vec{R}=\vec{0},\text{donc}\vec{R}=-\vec{P}\mathrm{.}$ La réaction du plancher a même valeur que le poids et le sens opposé (vers le haut).

Étape 4 — Calculer la valeur de la réaction. Le poids de Karim vaut $P=m\times g=70\times \mathrm{9,8}=686\text{ N}\mathrm{.}$ Donc la réaction du plancher vaut elle aussi $R=P=686\text{ N}$, dirigée vers le haut. Karim est « poussé » par le plancher avec une force de $686\text{ N}$, exactement de quoi compenser son poids.

Étape 5 — Interpréter. Tant que la cabine monte à vitesse constante, tout se passe, pour Karim, comme s'il était immobile au sol : la réaction du plancher égale son poids. C'est seulement aux instants de démarrage (la vitesse augmente) et d'arrêt (la vitesse diminue) que le vecteur vitesse varie, donc que la somme des forces n'est plus nulle — et c'est précisément à ces instants que Karim sent son poids « changer » dans le ventre. Pendant la montée régulière, il ne ressent rien d'anormal : forces compensées.

Conclusion. Choisir le système, dresser le bilan des forces, reconnaître un mouvement rectiligne uniforme, puis invoquer la réciproque du principe d'inertie pour conclure que les forces se compensent : c'est la démarche type de la mécanique de 1ʳᵉ. En terminale, tu reprendras exactement cette cabine, mais aux phases de démarrage et d'arrêt, et tu calculeras la réaction du plancher avec la deuxième loi de Newton $\sum \vec{F}=m\vec{a}$ : tu trouveras alors $R\mathrm{\ne }P$, et tu comprendras enfin, chiffres à l'appui, la sensation dans ton ventre.

À retenir