Décrire un mouvement

Référentiel et système

Avant de dire si quelque chose bouge, il faut dire quoi bouge et par rapport à quoi. Ces deux décisions sont le point de départ obligé de toute étude de mouvement, et les négliger conduit aux pires confusions.

Le système, c'est l'objet dont on étudie le mouvement. Une rame de tramway, une voiture, un ballon, une bille : peu importe leur taille réelle, on les remplace par un point dès que leurs dimensions sont petites devant les distances parcourues, ou quand seul le déplacement d'ensemble nous intéresse. Ce point, on l'appelle souvent le point matériel $M$, et on le place en pratique au centre de l'objet.

Exemple 1. Pour étudier le trajet du train Al Boraq entre Tanger et Casablanca, long de plus de $300\text{ km}$, on modélise le train — pourtant long de $200\text{ m}$ — par un seul point. Ses $200\text{ m}$ sont négligeables devant les $300\text{ km}$ du parcours. En revanche, si l'on voulait étudier comment le train s'incline dans un virage, le réduire à un point ferait perdre l'information cherchée : le choix du modèle dépend de la question.

Le référentiel : par rapport à quoi on observe

Décrire un mouvement suppose un observateur, et cet observateur est lié à un objet de référence : le sol, la rame, un quai. Cet objet de référence, muni d'une horloge pour dater les instants, constitue le référentiel.

Exemple 2. Le voyageur assis dans le tramway choisit, sans y penser, le référentiel lié à la rame : dans ce référentiel, son voisin est immobile. Le piéton sur le trottoir choisit le référentiel terrestre : dans ce référentiel, le voisin avance avec la rame. Aucun des deux ne se trompe ; ils ont simplement choisi des référentiels différents.

La relativité du mouvement

De là découle une vérité que tu as effleurée au collège et qu'il faut maintenant énoncer avec netteté : un même objet peut être immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre. Le mouvement n'existe pas « en soi » ; il existe toujours relativement à un référentiel choisi. Préciser le référentiel n'est donc pas une formalité administrative : c'est ce qui donne un sens à la phrase « cet objet bouge ».

À noter. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel est une phrase incomplète, exactement comme donner une heure sans dire de quel fuseau. La toute première question d'un physicien devant un mouvement est : dans quel référentiel ?

Le piège de Salma : croire qu'il existe un mouvement « absolu »

Salma affirme : « Le voisin du voyageur, en vrai, il bouge, puisque le tramway roule. » Elle pose un mouvement vrai, absolu, indépendant de l'observateur. C'est précisément l'erreur que ce chapitre combat. Dans le référentiel de la rame, le voisin est réellement immobile : sa distance au voyageur ne change pas d'un centimètre. Dans le référentiel terrestre, il est réellement en mouvement. Les deux descriptions sont également valables ; aucune n'est « la vraie ». Il n'y a pas de mouvement absolu, seulement des mouvements relatifs à des référentiels. Tu retrouveras cette idée, poussée à l'extrême, dans la relativité d'Einstein.

Vecteur position et trajectoire

Une fois le référentiel choisi, il faut pouvoir dire où se trouve le point $M$ à chaque instant, et avec assez de précision pour calculer ensuite des vitesses. Un mot comme « près de la station » ne suffit pas : il faut des nombres. C'est le rôle du repère.

Repérer la position par un vecteur

On munit le référentiel d'un repère : une origine $O$ (un point fixe choisi une fois pour toutes) et des axes orientés. La position du point $M$ est alors entièrement décrite par le vecteur position $\overrightarrow{OM}$, la flèche qui part de l'origine et pointe vers $M$.

Exemple 1. Dans un repère où l'origine $O$ est la station de départ, une rame se trouve, à un instant donné, en $M$ de coordonnées $x_M=400\text{ m}$ et $y_M=300\text{ m}$. Le vecteur position $\overrightarrow{OM}$ pointe vers ce point, et la rame est à la distance $OM=\sqrt{{400}^2+{300}^2}=\sqrt{250000}=500\text{ m}$ de la station. Un mouvement le long d'une voie droite se décrit souvent avec un seul axe : on n'écrit alors que $x_M$.

La trajectoire : l'ensemble des positions

À mesure que le temps s'écoule, le point $M$ occupe des positions successives $M_0,M_1,M_2,\dots$ La courbe qui relie toutes ces positions est la trajectoire : c'est la trace, le « chemin » dessiné par le point dans le référentiel choisi.

Exemple 2. La rame du tramway, qui suit une voie droite entre deux stations, a une trajectoire rectiligne dans le référentiel terrestre. Une cabine de la grande roue d'un parc, elle, a une trajectoire circulaire. Le ballon que tu lances suit une trajectoire curviligne (une parabole, comme tu le verras en terminale).

La chronophotographie

Comment obtient-on concrètement ces positions successives ? Par une chronophotographie : on photographie le système à intervalles de temps réguliers $\tau$ (souvent quelques centièmes de seconde) sur une même image. Chaque éclair fige une position ; l'image finale montre une suite de points $M_0,M_1,M_2,\dots$ régulièrement datés.

La chronophotographie est une mine d'informations. L'allure de la trajectoire se lit directement (alignés $\to$ rectiligne ; sur un cercle $\to$ circulaire). Et l'espacement des points renseigne sur la vitesse : comme $\tau$ est constant, des points resserrés signalent que le système a peu avancé en un temps $\tau$ (donc lentement), des points espacés qu'il a beaucoup avancé (donc vite). Un mouvement rectiligne à points régulièrement espacés est dit uniforme ; si l'espacement augmente, le mouvement accélère ; s'il diminue, il ralentit.

Le piège de Salma : confondre trajectoire et distance parcourue

Devant une trajectoire circulaire, Salma écrit « le mobile est revenu à son point de départ, donc il n'a pas bougé ». Elle confond la distance parcourue (la longueur du chemin réellement suivi, ici tout le tour du cercle) avec le déplacement (la flèche du point de départ au point d'arrivée, ici nulle). Un coureur qui boucle un tour de stade a parcouru $400\text{ m}$ tout en revenant à son point de départ : sa distance parcourue vaut $400\text{ m}$, son déplacement est nul. La trajectoire décrit le chemin, pas seulement les extrémités. Ne réduis jamais une trajectoire à ses deux bouts.

Le vecteur vitesse

Au collège, la vitesse était un seul nombre : $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}$. Ce nombre dit « à quelle allure », mais il reste muet sur où l'on va. Or, sur une trajectoire courbe, la direction du mouvement change à chaque instant et compte autant que l'allure. Pour décrire complètement la vitesse, il faut donc un objet qui porte trois informations à la fois : une valeur, une direction et un sens. Cet objet est un vecteur.

De la vitesse moyenne au vecteur vitesse

Entre deux positions $M_i$ et $M_j$ séparées d'une durée $\mathrm{\Delta }t$, la vitesse moyenne vaut $v_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{M_i{M}_j}{\mathrm{\Delta }t}}$, où $M_i{M}_j$ est la distance entre les deux points. Mais comme la vitesse change le long du trajet, cette moyenne lisse les variations. On veut la vitesse à un instant précis : le vecteur vitesse instantané.

La direction tangente est essentielle : à tout instant, le système « va tout droit dans la direction où il file », même si la trajectoire courbe juste après. Pense à une bille lâchée d'une fronde tournante : elle part en ligne droite, tangente au cercle, dans le sens où elle tournait.

Exemple 1. Sur une autoroute rectiligne entre Rabat et Kénitra, une voiture roule à $108\text{ km/h}$. Convertissons en unité SI : $v=108\text{ km/h}={\displaystyle \frac{108000\text{ m}}{3600\text{ s}}}=30\text{ m/s}\mathrm{.}$ Son vecteur vitesse $\vec{v}$ a pour valeur $30\text{ m/s}$, pour direction celle de la route (rectiligne, donc la tangente est la route elle-même), et pour sens celui de Rabat vers Kénitra. Retiens la conversion : diviser par $\mathrm{3,6}$ fait passer des $\text{km/h}$ aux $\text{m/s}$ (${\displaystyle \frac{108}{\mathrm{3,6}}}=30$).

Construire $\vec{v}$ à partir d'une chronophotographie

Sur une chronophotographie, on ne dispose que de positions ; comment en tirer le vecteur vitesse au point $M_i$ ? On utilise les deux points qui l'encadrent, $M_{i-1}$ et $M_{i+1}$. Le vecteur $\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}$ pointe bien dans le sens du mouvement et, sur une trajectoire pas trop courbée, sa direction approche la tangente en $M_i$. Comme il couvre deux intervalles de temps (de $M_{i-1}$ à $M_{i+1}$, soit $2\tau$), on divise par $2\tau$ :

$\overrightarrow{v_i}\approx {\displaystyle \frac{\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}}{2\tau }}\mathrm{.}$

Exemple 2. Une chronophotographie a $\tau =40\text{ ms}=\mathrm{0,040}\text{ s}$. Pour le point $M_3$, on mesure $M_2{M}_4=\mathrm{2,4}\text{ cm}$ sur l'image, qui correspondent (échelle de l'image) à $\mathrm{0,12}\text{ m}$ réels. Alors $v_3\approx {\displaystyle \frac{M_2{M}_4}{2\tau }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{2\times \mathrm{0,040}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,080}}}=\mathrm{1,5}\text{ m/s}\mathrm{.}$ Avec l'échelle des vitesses $1\text{ cm}\leftrightarrow 1\text{ m/s}$, on trace en $M_3$ une flèche de $\mathrm{1,5}\text{ cm}$, tangente et orientée dans le sens du mouvement.

Le piège de Salma : confondre vitesse nulle et vecteur vitesse constant

Salma lit « le mouvement est uniforme » et conclut « le vecteur vitesse ne change pas ». Attention au mot uniforme : il signifie seulement que la valeur $v$ reste constante, pas que le vecteur $\vec{v}$ reste constant. Sur un manège qui tourne à allure régulière, la valeur de la vitesse ne bouge pas — mais sa direction (tangente) tourne sans cesse, donc le vecteur vitesse change à chaque instant. Un vecteur ne reste constant que si ses trois caractéristiques le restent : valeur, direction et sens. C'est uniquement dans un mouvement rectiligne uniforme que le vecteur vitesse est vraiment constant. Cette nuance est la clé du chapitre suivant.

Le vecteur variation de vitesse

Si le vecteur vitesse change — en valeur, en direction, ou les deux — c'est qu'il se passe quelque chose. En terminale, tu apprendras que ce « quelque chose », ce sont les forces : la deuxième loi de Newton relie directement la variation du vecteur vitesse aux forces qui s'exercent. Dès maintenant, on apprend à mesurer et à construire cette variation. C'est le dernier outil descriptif du chapitre, et le pont vers toute la dynamique.

Définir la variation de vitesse

Entre deux instants consécutifs d'une chronophotographie, le vecteur vitesse passe de $\overrightarrow{v_i}$ à $\overrightarrow{v_{i+1}}$. Leur différence est le vecteur variation de vitesse.

Exemple 1. Sur une trajectoire rectiligne, une voiture passe de $v_i=20\text{ m/s}$ à $v_{i+1}=26\text{ m/s}$ dans le même sens. Comme direction et sens sont inchangés, la variation se calcule sur les seules valeurs : la norme de $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ vaut $26-20=6\text{ m/s}$, et $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe dans le sens du mouvement (le mobile accélère). Si la voiture freinait de $26$ à $20\text{ m/s}$, $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ aurait la même norme $6\text{ m/s}$ mais pointerait vers l'arrière, en sens inverse du mouvement.

Construire $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ par la relation de Chasles

En général, $\overrightarrow{v_i}$ et $\overrightarrow{v_{i+1}}$ n'ont ni la même direction ni la même valeur : on ne peut pas se contenter de soustraire des nombres, il faut construire géométriquement. On réécrit la définition à l'aide de la relation de Chasles, vue en mathématiques : $\mathrm{\Delta }\vec{v}=\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_i}=\overrightarrow{v_{i+1}}+(-\overrightarrow{v_i})\mathrm{.}$

Exemple 2. Sur une trajectoire circulaire uniforme (manège), $\overrightarrow{v_i}$ et $\overrightarrow{v_{i+1}}$ ont la même valeur mais des directions différentes (les tangentes tournent). Leur différence $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ n'est donc pas nulle, bien que la valeur de la vitesse ne change pas : la construction de Chasles donne un petit vecteur dirigé vers le centre du cercle. Voilà la preuve, par le dessin, que « uniforme » ne veut pas dire « vitesse constante » au sens vectoriel.

Ce que la direction de $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ révèle

La direction du vecteur variation de vitesse n'est pas un détail : elle raconte ce qui agit sur le système. Si $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe dans le sens du mouvement, le mobile accélère ; en sens inverse, il ralentit ; perpendiculairement (vers le centre, sur un cercle), seule la direction du mouvement tourne. Et c'est exactement là que le chapitre tend la main au futur : en terminale, la deuxième loi de Newton dira que $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ a la même direction et le même sens que la somme des forces exercées sur le système. Mesurer $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ aujourd'hui, c'est apprendre à lire les forces de demain.

Le piège de Karim : additionner les valeurs au lieu des vecteurs

Karim veut la variation de vitesse d'un palet qui rebondit contre une bande : il arrive à $3\text{ m/s}$ et repart à $3\text{ m/s}$. Il écrit « $\mathrm{\Delta }v=3-3=0$, la vitesse n'a pas varié ». C'est faux, et dangereusement. Les deux vecteurs ont la même valeur, mais des sens opposés : $\overrightarrow{v_{i+1}}=-\overrightarrow{v_i}$. Donc $\mathrm{\Delta }\vec{v}=\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_i}=(-\overrightarrow{v_i})-\overrightarrow{v_i}=-2\overrightarrow{v_i},$ de norme $2\times 3=6\text{ m/s}$, dirigée à l'opposé de la vitesse d'arrivée. Le rebond change radicalement le vecteur vitesse, même si sa valeur est conservée. On ne soustrait jamais des valeurs quand les directions ou les sens diffèrent : on soustrait des vecteurs, par Chasles.

Pièges classiques

1. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel. « La voiture roule à $90\text{ km/h}$ » sous-entend « par rapport au sol ». Tant qu'on ne le dit pas, la phrase est incomplète : le même objet peut être immobile dans un référentiel et mobile dans un autre. Le mouvement est relatif, jamais absolu.

2. Croire qu'un objet a une trajectoire unique. La trajectoire dépend du référentiel. La valve d'une roue de vélo décrit un cercle dans le référentiel du cycliste, mais une courbe ondulante (une cycloïde) dans le référentiel terrestre. Changer de référentiel change la trajectoire.

3. Confondre distance parcourue et déplacement. La distance parcourue est la longueur du chemin réellement suivi ; le déplacement est la flèche du départ à l'arrivée. Sur un tour complet, la distance parcourue est tout le tour, mais le déplacement est nul. Une trajectoire ne se réduit pas à ses deux extrémités.

4. Oublier que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. Le vecteur vitesse n'est jamais dirigé vers le centre d'un cercle ni « vers l'intérieur » de la courbe : il est toujours tangent, dans le sens du mouvement. Le confondre avec une autre direction fausse toute construction.

5. Croire que « mouvement uniforme » signifie « vecteur vitesse constant ». Uniforme qualifie la seule valeur de la vitesse. En mouvement circulaire uniforme, la valeur ne change pas mais la direction (donc le vecteur) tourne en permanence. Le vecteur vitesse n'est constant qu'en mouvement rectiligne uniforme.

6. Soustraire des valeurs de vitesse au lieu des vecteurs. $\mathrm{\Delta }\vec{v}=\overrightarrow{v_{i+1}}-\overrightarrow{v_i}$ est une différence de vecteurs, à construire par Chasles. On ne peut soustraire les seules valeurs ($v_{i+1}-v_i$) que si les deux vitesses ont même direction et même sens. Dès qu'une direction ou un sens diffère, il faut dessiner.

Application concrète

Au lycée de Casablanca, Amine étudie le mouvement d'un palet lancé sur une table à coussin d'air. Il en obtient une chronophotographie où les positions $M_0,M_1,M_2,M_3,M_4$ sont prises à l'intervalle régulier $\tau =50\text{ ms}=\mathrm{0,050}\text{ s}$. Les distances réelles entre points consécutifs, mesurées via l'échelle de l'image, valent : $M_0{M}_1=\mathrm{5,0}\text{ cm}$, $M_1{M}_2=\mathrm{7,0}\text{ cm}$, $M_2{M}_3=\mathrm{9,0}\text{ cm}$, $M_3{M}_4=\mathrm{11,0}\text{ cm}$. Les points sont alignés : la trajectoire est rectiligne. Amine veut décrire ce mouvement complètement.

Étape 1 — Choisir le référentiel et le système. Amine étudie le palet (le système), modélisé par son centre, un point $M$. Le référentiel est celui de la table (référentiel terrestre du laboratoire), muni de l'horloge qui cadence la chronophotographie à $\tau =\mathrm{0,050}\text{ s}$.

Étape 2 — Lire l'allure du mouvement. Les points sont alignés : trajectoire rectiligne. Les écarts entre points consécutifs augmentent ($\mathrm{5,0}$, puis $\mathrm{7,0}$, puis $\mathrm{9,0}$, puis $\mathrm{11,0}\text{ cm}$) : à intervalle de temps égal, le palet parcourt de plus en plus de distance. Le mouvement est donc rectiligne accéléré (pas uniforme).

Étape 3 — Calculer les valeurs des vecteurs vitesse. On applique $v_i\approx {\displaystyle \frac{M_{i-1}{M}_{i+1}}{2\tau }}$ aux points encadrés. $v_1={\displaystyle \frac{M_0{M}_2}{2\tau }}={\displaystyle \frac{(\mathrm{5,0}+\mathrm{7,0})\times {10}^{-2}}{2\times \mathrm{0,050}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,10}}}=\mathrm{1,2}\text{ m/s}\mathrm{.}$ $v_2={\displaystyle \frac{M_1{M}_3}{2\tau }}={\displaystyle \frac{(\mathrm{7,0}+\mathrm{9,0})\times {10}^{-2}}{\mathrm{0,10}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,16}}{\mathrm{0,10}}}=\mathrm{1,6}\text{ m/s}\mathrm{.}$ $v_3={\displaystyle \frac{M_2{M}_4}{2\tau }}={\displaystyle \frac{(\mathrm{9,0}+\mathrm{11,0})\times {10}^{-2}}{\mathrm{0,10}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,10}}}=\mathrm{2,0}\text{ m/s}\mathrm{.}$ Les valeurs croissent : cela confirme l'accélération lue à l'étape 2.

Étape 4 — Tracer les vecteurs vitesse. En chaque point $M_1,M_2,M_3$, Amine dessine une flèche tangente (ici, le long de la droite, dans le sens du mouvement), de longueur proportionnelle à la valeur. Avec l'échelle des vitesses $1\text{ cm}\leftrightarrow \mathrm{0,5}\text{ m/s}$, cela donne des flèches de $\mathrm{2,4}\text{ cm}$, $\mathrm{3,2}\text{ cm}$ et $\mathrm{4,0}\text{ cm}$ : de plus en plus longues, image visuelle de l'accélération.

Étape 5 — Construire le vecteur variation de vitesse. Entre $M_1$ et $M_2$, comme le mouvement est rectiligne et de même sens, la variation se lit sur les valeurs : $\mathrm{\parallel }\mathrm{\Delta }{\vec{v}}_{1\to 2}\mathrm{\parallel }=v_2-v_1=\mathrm{1,6}-\mathrm{1,2}=\mathrm{0,4}\text{ m/s}$. Entre $M_2$ et $M_3$ : $\mathrm{\parallel }\mathrm{\Delta }{\vec{v}}_{2\to 3}\mathrm{\parallel }=v_3-v_2=\mathrm{2,0}-\mathrm{1,6}=\mathrm{0,4}\text{ m/s}$. Dans les deux cas, $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ pointe dans le sens du mouvement (le palet accélère) et a la même norme $\mathrm{0,4}\text{ m/s}$ : la variation de vitesse est régulière.

Conclusion. En quelques mesures, Amine a décrit entièrement le mouvement : système et référentiel fixés, trajectoire rectiligne, mouvement accéléré, vecteurs vitesse calculés et tracés, variation de vitesse constante dirigée vers l'avant. Ce dernier résultat — un $\mathrm{\Delta }\vec{v}$ constant, vers l'avant — est exactement ce qu'en terminale la deuxième loi de Newton attribuera à une force constante vers l'avant (par exemple une légère pente). Décrire le mouvement aujourd'hui, c'est préparer l'explication de demain.

À retenir