Lentilles minces et formation d'images

La lentille mince convergente

Une lentille est un morceau de verre (ou de plastique) transparent dont les deux faces sont des portions de sphères. Selon la forme de ces faces, elle fait converger la lumière ou la fait diverger. Dans ce chapitre, on s'intéresse aux lentilles convergentes, celles qu'on trouve dans une loupe, un appareil photo ou l'objectif d'un projecteur.

Pour reconnaître une lentille convergente au toucher, palpe ses bords : s'ils sont plus minces que le centre, elle est convergente. Une lentille divergente, au contraire, a des bords épais et un centre mince — tu la croiseras dans les lunettes de vue des myopes, et plus en détail en terminale.

Le centre optique, l'axe optique et les foyers

Toute la géométrie de la lentille s'organise autour de quelques points et d'une droite privilégiés.

Toutes ces positions se repèrent par des mesures algébriques sur l'axe orienté. On oriente l'axe dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite). Une mesure comme $\overline{O{F}^{\mathrm{\prime }}}$ est alors positive si $F^{\mathrm{\prime }}$ est à droite de $O$, négative s'il est à gauche.

La distance focale et la vergence

Exemple 1. Une lentille a une distance focale $f^{\mathrm{\prime }}=\overline{O{F}^{\mathrm{\prime }}}=20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{ m}$. Sa vergence vaut $C={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,20}}}=\mathrm{5,0}\delta \mathrm{.}$ Attention : si tu oublies de convertir les $20\text{ cm}$ en mètres, tu trouverais ${\displaystyle \frac{1}{20}}=\mathrm{0,05}$, faux d'un facteur 100.

Exemple 2. L'objectif d'un appareil photo a une vergence $C=25\delta$. Sa distance focale vaut $f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{C}}={\displaystyle \frac{1}{25}}=\mathrm{0,040}\text{ m}=\mathrm{4,0}\text{ cm}\mathrm{.}$

Les trois rayons particuliers

Trois rayons issus d'un même point se tracent sans calcul, par simple lecture des définitions précédentes. Ce sont les outils de toute construction.

Construction géométrique d'une image

On place devant la lentille un objet $AB$ : un petit segment perpendiculaire à l'axe, dont le pied $A$ est sur l'axe et le sommet $B$ au-dessus. La lentille forme une image $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ de cet objet. Pour la trouver, on construit l'image $B^{\mathrm{\prime }}$ du point $B$ avec deux des trois rayons particuliers (le troisième sert de vérification), puis on projette $B^{\mathrm{\prime }}$ sur l'axe pour obtenir $A^{\mathrm{\prime }}$.

Image réelle et image virtuelle

Selon la position de l'objet par rapport au foyer objet $F$, l'image change radicalement de nature.

Exemple 1. Salma photographie un arbre situé à plusieurs mètres de l'objectif, donc bien au-delà du foyer $F$. L'image se forme de l'autre côté de la lentille, sur le capteur : elle est réelle et renversée. C'est pour cela que le capteur enregistre une image tête en bas, que l'électronique redresse ensuite.

Exemple 2. Salma approche la même lentille d'un timbre, à une distance plus petite que la distance focale (objet entre $F$ et la lentille). Elle ne peut plus projeter l'image sur un écran : en regardant à travers, elle voit le timbre agrandi et droit. L'image est virtuelle : la lentille fonctionne en loupe.

Le piège de Salma : « l'image se forme toujours derrière la lentille »

Salma, habituée à son appareil photo, croit que toute image se forme « de l'autre côté », sur un écran. Faux dès qu'on s'approche trop : si l'objet est entre $F$ et la lentille, l'image bascule du même côté que l'objet, devient virtuelle et droite, et aucun écran ne peut la capter. C'est exactement ce qui se passe quand elle utilise sa lentille en loupe. Le critère est simple : objet au-delà de $F$ → image réelle renversée ; objet en deçà de $F$ → image virtuelle droite. Regarde où est l'objet par rapport à $F$ avant de conclure.

La relation de conjugaison

La construction géométrique donne une bonne intuition, mais pour un résultat précis il faut calculer. La relation de conjugaison relie la position de l'image $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}$, celle de l'objet $\overline{OA}$ et la distance focale $f^{\mathrm{\prime }}$ — toutes trois en mesures algébriques sur l'axe orienté.

Propriété (relation de conjugaison). Pour une lentille mince convergente, en mesures algébriques sur l'axe orienté dans le sens de la lumière : ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{1}{\overline{O{F}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\mathrm{.}$ $\overline{OA}$ repère la position de l'objet, $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}$ celle de l'image, $f^{\mathrm{\prime }}=\overline{O{F}^{\mathrm{\prime }}}$ la distance focale (toutes en mètres ou toutes en cm, mais cohérentes).

Le signe de chaque mesure est crucial. Avec l'axe orienté de gauche à droite et la lentille en $O$ :

• l'objet est avant la lentille, donc à gauche : $\overline{OA}<0$ ;
• une image réelle est après la lentille, donc à droite : $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}>0$ ;
• une image virtuelle est avant la lentille, donc à gauche : $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}<0$.

Ne perds jamais de vue le signe « moins » entre les deux fractions : c'est ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}$, pas une somme.

Calculer la position de l'image

Exemple 1. Salma place un objet à $30\text{ cm}$ devant une lentille de distance focale $f^{\mathrm{\prime }}=10\text{ cm}$. L'objet est à gauche : $\overline{OA}=-30\text{ cm}$. On cherche $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}$. ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{(-30)}}={\displaystyle \frac{3}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{2}{30}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\mathrm{.}$ Donc $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=15\text{ cm}$. La valeur est positive : l'image est réelle, à $15\text{ cm}$ après la lentille. Cohérent : l'objet ($30\text{ cm}$) est au-delà de $F$ ($10\text{ cm}$).

Exemple 2. Salma utilise la même lentille ($f^{\mathrm{\prime }}=10\text{ cm}$) en loupe : l'objet est à $6\text{ cm}$, donc $\overline{OA}=-6\text{ cm}$ (entre $F$ et la lentille). ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{(-6)}}={\displaystyle \frac{3}{30}}-{\displaystyle \frac{5}{30}}=-{\displaystyle \frac{2}{30}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}\mathrm{.}$ Donc $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-15\text{ cm}$. La valeur est négative : l'image est virtuelle, à $15\text{ cm}$ du même côté que l'objet. C'est bien le comportement d'une loupe.

Le piège de Salma : oublier le signe de $\overline{OA}$

Salma écrit directement ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{30}}$ en mettant $\overline{OA}=+30$, parce que « l'objet est à $30\text{ cm}$ ». Erreur de signe fatale : l'objet est à gauche, donc $\overline{OA}=-30\text{ cm}$. Avec son erreur elle trouverait $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=\mathrm{7,5}\text{ cm}$ au lieu de $15\text{ cm}$. Règle absolue : reporte d'abord chaque distance en mesure algébrique signée, puis substitue. Un objet réel est toujours à gauche, donc $\overline{OA}$ est toujours négatif dans cette convention.

Le grandissement

Reste à savoir si l'image est plus grande ou plus petite que l'objet, et dans quel sens. C'est le rôle du grandissement.

La deuxième égalité, $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{OA}}}$, est la plus pratique : elle se calcule directement à partir des positions trouvées par la relation de conjugaison.

Le signe et la valeur du grandissement

Le grandissement encode à la fois le sens et la taille de l'image :

Exemple 1. Reprenons l'objet réel de l'exemple précédent : $\overline{OA}=-30\text{ cm}$, $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=15\text{ cm}$. $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{15}{-30}}=-\mathrm{0,5.}$ $\gamma <0$ : image renversée. $\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=\mathrm{0,5}<1$ : image réduite de moitié. Si l'objet mesure $\overline{AB}=\mathrm{4,0}\text{ cm}$, l'image mesure $\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}=\gamma \times \overline{AB}=-\mathrm{0,5}\times \mathrm{4,0}=-\mathrm{2,0}\text{ cm}$ (le signe négatif rappelle qu'elle pointe vers le bas).

Exemple 2. Cas de la loupe : $\overline{OA}=-6\text{ cm}$, $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=-15\text{ cm}$. $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{-15}{-6}}=+\mathrm{2,5.}$ $\gamma >0$ : image droite. $\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=\mathrm{2,5}>1$ : image agrandie $\mathrm{2,5}$ fois. C'est bien ce qu'on attend d'une loupe : on voit l'objet droit et plus grand.

Le piège de Salma : confondre grandissement et grossissement

Salma dit : « ma loupe a un grossissement de $\times 3$, donc son grandissement vaut $3$ ». Attention à ne pas mélanger deux notions. Le grandissement $\gamma$ est le rapport (algébrique, signé) de la taille de l'image à celle de l'objet pour une lentille seule et une position donnée. Le grossissement d'un instrument (loupe, microscope) compare l'angle sous lequel on voit l'objet avec et sans l'instrument — c'est une notion d'instrument que tu verras en terminale. Pour ce chapitre, tiens-t'en au grandissement $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{AB}}}={\displaystyle \frac{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{OA}}}$, et n'oublie jamais son signe.

Pièges classiques

1. Oublier les signes des mesures algébriques. Une distance « de $20\text{ cm}$ » n'est pas $\overline{OA}=+20$. L'objet réel est à gauche de $O$, donc $\overline{OA}=-20\text{ cm}$. Avant tout calcul, traduis chaque distance en mesure algébrique signée selon l'orientation de l'axe (sens de la lumière). C'est l'erreur n°1 du chapitre.

2. Confondre la distance focale $f^{\mathrm{\prime }}$ et la vergence $C$. Ce sont des inverses l'un de l'autre : $C={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$. La distance focale est une longueur (en m) ; la vergence est en dioptries ($\delta$). Une grande vergence correspond à une petite distance focale (lentille très convergente). Ne les additionne pas, ne les confonds pas.

3. Oublier la conversion cm → m dans la vergence. La formule $C={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$ exige $f^{\mathrm{\prime }}$ en mètres. Pour $f^{\mathrm{\prime }}=25\text{ cm}$, il faut écrire $f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,25}\text{ m}$, d'où $C=\mathrm{4,0}\delta$. Si tu calcules ${\displaystyle \frac{1}{25}}$, tu te trompes d'un facteur 100. Les dioptries sont des « inverses de mètres », jamais des inverses de centimètres.

4. Oublier le signe « moins » de la relation de conjugaison. La formule est ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}-{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$, avec une soustraction. Beaucoup la transforment à tort en somme. Pour isoler ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}$, on écrit ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}$ : le signe « moins » devient un « plus » en passant le terme de l'autre côté, mais comme $\overline{OA}$ est négatif, le résultat reste cohérent.

5. Croire que l'image est toujours réelle. L'image n'est réelle (de l'autre côté, renversée, sur écran) que si l'objet est au-delà du foyer $F$. Si l'objet est entre $F$ et la lentille, l'image devient virtuelle (même côté, droite, non projetable) : c'est la loupe. Le signe de $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}$ te le dit : positif → réelle, négatif → virtuelle.

6. Confondre grandissement et grossissement. Le grandissement $\gamma$ est le rapport signé des tailles image/objet pour une lentille seule. Le grossissement d'un instrument compare des angles vus avec et sans l'instrument (notion de terminale). Pour ce chapitre, raisonne toujours en grandissement, signe compris.

Application concrète

Salma installe son appareil photo sur un trépied pour photographier une fleur du jardin de la villa, à Marrakech. L'objectif est modélisé par une lentille mince convergente de distance focale $f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{5,0}\text{ cm}$. La fleur, de hauteur $\overline{AB}=\mathrm{6,0}\text{ cm}$, est placée à $30\text{ cm}$ devant l'objectif. Salma veut savoir où placer le capteur (à quelle distance derrière la lentille) et quelle taille aura l'image de la fleur sur ce capteur. On oriente l'axe dans le sens de la lumière, de la fleur vers le capteur.

Étape 1 — Traduire les données en mesures algébriques. La fleur (objet réel) est avant la lentille, donc à gauche de $O$ : $\overline{OA}=-30\text{ cm}$. La distance focale d'une lentille convergente est positive : $f^{\mathrm{\prime }}=\overline{O{F}^{\mathrm{\prime }}}=+\mathrm{5,0}\text{ cm}$. La taille de l'objet est $\overline{AB}=+\mathrm{6,0}\text{ cm}$ (vers le haut).

Étape 2 — Calculer la position de l'image avec la relation de conjugaison. ${\displaystyle \frac{1}{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,0}}}+{\displaystyle \frac{1}{(-30)}}={\displaystyle \frac{6}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{5}{30}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$ Donc $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}=\mathrm{6,0}\text{ cm}$. La valeur est positive : l'image est réelle, $\mathrm{6,0}\text{ cm}$ derrière la lentille. Salma doit donc placer le capteur à $\mathrm{6,0}\text{ cm}$ de l'objectif.

Étape 3 — Calculer le grandissement. $\gamma ={\displaystyle \frac{\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}}{\overline{OA}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}}{-30}}=-\mathrm{0,20.}$ $\gamma <0$ : l'image est renversée (tête en bas sur le capteur). $\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=\mathrm{0,20}<1$ : elle est réduite.

Étape 4 — Calculer la taille de l'image. $\overline{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}=\gamma \times \overline{AB}=-\mathrm{0,20}\times \mathrm{6,0}=-\mathrm{1,2}\text{ cm}\mathrm{.}$ L'image mesure $\mathrm{1,2}\text{ cm}$ de haut, pointée vers le bas (signe négatif) : elle tient largement sur un capteur de quelques centimètres.

Étape 5 — Vérifier la cohérence. L'objet ($30\text{ cm}$) est bien au-delà du foyer ($5\text{ cm}$) : on attendait une image réelle et renversée — c'est confirmé par $\overline{O{A}^{\mathrm{\prime }}}>0$ et $\gamma <0$. Tout est cohérent.

Conclusion. Traduire les distances en mesures algébriques signées, appliquer la relation de conjugaison pour la position, puis le grandissement pour la taille et le sens : c'est la démarche complète de l'optique géométrique de 1ʳᵉ. Si Salma approche la fleur à moins de $5\text{ cm}$, l'image deviendrait virtuelle et l'appareil ne pourrait plus faire la mise au point — d'où la distance minimale de mise au point de tout objectif. En terminale, tu assembleras plusieurs lentilles de ce type pour construire un microscope ou une lunette astronomique, en chaînant les relations de conjugaison ; en classes préparatoires, ce sera l'optique géométrique complète, avec les systèmes de lentilles et les aberrations.

À retenir