Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Travail d'une force

Au chapitre précédent, tu as appris à modéliser une action par une force. Mais une force qui s'exerce sans que rien ne bouge ne « produit » rien d'énergétique : tu peux pousser un mur de toutes tes forces pendant une heure, le mur ne reçoit aucune énergie. Ce qui compte, énergétiquement, c'est que le point d'application de la force se déplace. La grandeur qui mesure cet effet — l'énergie qu'une force transfère à un système au cours d'un déplacement — s'appelle le travail de la force.

Le joule (symbole J) est l'unité d'énergie. Un travail de $1\text{ J}$, c'est ce que fournit une force de $1\text{ N}$ dont le point d'application avance de $1\text{ m}$ dans le sens de la force. Pour fixer les idées : soulever de $1\text{ m}$ une bouteille d'eau d'un litre demande à peu près $10\text{ J}$.

Exemple 1. Amine tire une caisse sur $AB=\mathrm{5,0}\text{ m}$ avec une force horizontale de valeur $F=80\text{ N}$, dans le sens du déplacement (donc $\alpha =0$, $\cos \alpha =1$). Le travail de sa force vaut $W_{AB}(\vec{F})=F\times AB\times \cos 0=80\times \mathrm{5,0}\times 1=400\text{ J}\mathrm{.}$

Travail moteur, résistant ou nul

Le facteur $\cos \alpha$ porte tout le sens physique. Selon l'orientation de la force par rapport au déplacement, elle aide le mouvement, le freine, ou n'a aucun effet énergétique.

• Si $0\le \alpha <90\mathrm{°}$, alors $\cos \alpha >0$ : le travail est positif, on dit qu'il est moteur. La force fournit de l'énergie au système (elle « tire dans le sens » du mouvement).
• Si $90\mathrm{°}<\alpha \le 180\mathrm{°}$, alors $\cos \alpha <0$ : le travail est négatif, on dit qu'il est résistant. La force retire de l'énergie au système (elle freine).
• Si $\alpha =90\mathrm{°}$, alors $\cos \alpha =0$ : le travail est nul. Une force constamment perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.

Exemple 2. Les frottements qui s'opposent au glissement d'une luge sont dirigés à l'opposé du déplacement : $\alpha =180\mathrm{°}$, $\cos \alpha =-1$. Leur travail est résistant. Si la force de frottement vaut $f=30\text{ N}$ sur $AB=12\text{ m}$, son travail est $W_{AB}(\vec{f})=30\times 12\times (-1)=-360\text{ J}\mathrm{.}$ Les frottements retirent $360\text{ J}$ au système.

Le travail du poids

Le poids est une force constante (vertical, vers le bas, de valeur $P=mg$). Son travail a une expression remarquablement simple : il ne dépend que de la différence d'altitude entre le départ et l'arrivée, et pas du chemin suivi.

Exemple 3. Yasmine, masse $m=60\text{ kg}$, descend de $h=\mathrm{8,0}\text{ m}$ sur un toboggan aquatique à Marrakech (peu importe que le toboggan soit droit ou en spirale). Avec $g=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$, le travail de son poids, moteur car elle descend, vaut $W(\vec{P})=+mgh=60\times \mathrm{9,8}\times \mathrm{8,0}=4704\text{ J}\approx \mathrm{4,7}\text{ kJ}\mathrm{.}$

Le piège de Salma : oublier le cosinus pour une force inclinée

Salma tire une valise à roulettes avec une poignée inclinée à $\alpha =30\mathrm{°}$ au-dessus de l'horizontale, force $F=50\text{ N}$, sur $AB=10\text{ m}$. Elle écrit $W=F\times AB=50\times 10=500\text{ J}$. Faux : la force n'est pas colinéaire au déplacement. Seule la composante horizontale travaille, d'où le facteur $\cos \alpha$ : $W=F\times AB\times \cos 30\mathrm{°}=50\times 10\times \mathrm{0,87}\approx 433\text{ J}\mathrm{.}$ Dès que la force et le déplacement ne sont pas alignés, le $\cos \alpha$ est obligatoire. Ne l'oublie jamais.

Énergie cinétique et son théorème

Tu connais l'énergie cinétique depuis le collège : c'est l'énergie que possède un corps du seul fait de son mouvement. Une voiture lancée, une luge qui dévale, un ballon en vol : tous portent de l'énergie cinétique, d'autant plus grande qu'ils sont massifs et rapides.

Deux pièges d'unités d'emblée : la masse est en kilogrammes (pas en grammes), et la vitesse en mètres par seconde (pas en km/h). Rappel de la conversion : $1\text{ m/s}=\mathrm{3,6}\text{ km/h}$, donc pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.

Exemple 1. La voiture de Yasmine, masse $m=1200\text{ kg}$, roule à $v=90\text{ km/h}$. En m/s : $v={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{3,6}}}=25\text{ m/s}$. Son énergie cinétique vaut $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1200\times {25}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1200\times 625=375000\text{ J}=375\text{ kJ}\mathrm{.}$

Le théorème de l'énergie cinétique

Comment l'énergie cinétique d'un corps varie-t-elle ? Elle augmente quand on lui fournit de l'énergie (travail moteur), elle diminue quand on lui en retire (travail résistant). Le lien exact est l'un des théorèmes centraux de la mécanique.

Théorème de l'énergie cinétique. Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un corps entre deux points $A$ et $B$ est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur lui entre $A$ et $B$ : $\mathrm{\Delta }{E}_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{AB}(\vec{F})\mathrm{.}$

Lis-le comme un bilan : « ce que gagne (ou perd) le corps en énergie de mouvement est exactement ce que les forces lui ont apporté (ou retiré) en travail ». Si la somme des travaux est positive, le corps accélère ; si elle est négative, il ralentit.

Exemple 2. Une force motrice de travail $+5000\text{ J}$ et des frottements de travail $-1500\text{ J}$ s'exercent sur un chariot. Sa variation d'énergie cinétique vaut $\mathrm{\Delta }{E}_c=5000+(-1500)=3500\text{ J}\mathrm{.}$ Son énergie cinétique augmente de $3500\text{ J}$ : le chariot accélère.

Application au freinage et à la distance d'arrêt

Lorsqu'une voiture freine, seule (en première approximation) la force de freinage travaille, et son travail est résistant. Le théorème permet de relier la distance de freinage à la vitesse initiale.

Exemple 3. La voiture de Yasmine ($m=1200\text{ kg}$) roule à $v=25\text{ m/s}$ puis freine jusqu'à l'arrêt ($v^{\mathrm{\prime }}=0$). La force de freinage, constante, vaut $f=6000\text{ N}$, opposée au mouvement (travail résistant : $\alpha =180\mathrm{°}$). Le théorème donne $E_c(B)-E_c(A)=-f\times d,$ $0-375000=-6000\times d⟹d={\displaystyle \frac{375000}{6000}}=\mathrm{62,5}\text{ m}\mathrm{.}$ La voiture s'arrête en $\mathrm{62,5}\text{ m}$ de freinage. Remarque capitale : comme $E_c\propto v^2$, doubler la vitesse quadruple la distance de freinage. À $50\text{ m/s}$, il faudrait $250\text{ m}$ : c'est toute la raison des limitations de vitesse.

Le piège de Yasmine : doubler la vitesse double l'énergie cinétique

Yasmine raisonne : « je roule deux fois plus vite, donc mon énergie cinétique double ». Faux. L'énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse : $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$. Doubler $v$ multiplie $v^2$ par $4$, donc $E_c$ par quatre, pas par deux. C'est pourquoi un choc à $100\text{ km/h}$ est quatre fois plus violent qu'à $50\text{ km/h}$, pas deux. Le carré change tout : ne le perds jamais de vue.

Énergie potentielle de pesanteur

Reviens à la télécabine d'Oukaïmeden. En montant, Yasmine n'acquiert aucune vitesse (la cabine va lentement), pourtant elle « stocke » quelque chose : une énergie liée à sa position en altitude, prête à se reconvertir en vitesse dès la descente. On l'appelle l'énergie potentielle de pesanteur.

Le mot potentielle dit bien qu'il s'agit d'une énergie de position, en réserve, qui pourra se transformer. Et le mot important de la définition est origine : l'altitude $z=0$ n'est pas imposée par la nature, c'est toi qui la choisis (le sol, le bas de la piste, le niveau de la mer...). Seules les différences d'énergie potentielle ont un sens physique, et elles, ne dépendent pas de ce choix.

Exemple 1. Yasmine, masse $m=60\text{ kg}$, est en haut d'une piste, à $z=50\text{ m}$ au-dessus du bas de la piste choisi comme origine ($g=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$) : $E_{pp}=mgz=60\times \mathrm{9,8}\times 50=29400\text{ J}\approx \mathrm{29,4}\text{ kJ}\mathrm{.}$ Au bas de la piste ($z=0$), son énergie potentielle est nulle.

Lien avec le travail du poids

Ce n'est pas un hasard si $E_{pp}=mgz$ ressemble au travail du poids $\pm mgh$. Quand un corps descend d'une hauteur $h$, son énergie potentielle diminue de $mgh$, et c'est exactement ce que le poids fournit en travail moteur. Le lien est exact : $W_{AB}(\vec{P})=E_{pp}(A)-E_{pp}(B)=-\mathrm{\Delta }{E}_{pp}\mathrm{.}$ Le travail du poids est l'opposé de la variation d'énergie potentielle. Quand on descend, $E_{pp}$ baisse et le poids travaille positivement (moteur) ; quand on monte, $E_{pp}$ augmente et le poids travaille négativement (résistant).

Conversion énergie potentielle ↔ énergie cinétique

C'est tout le secret de la descente de Yasmine : l'énergie potentielle perdue en descendant se convertit en énergie cinétique. Ce que l'altitude perd, la vitesse le gagne.

Exemple 2. Une bille lâchée d'une hauteur $h=\mathrm{1,25}\text{ m}$ (sans vitesse initiale, frottements négligés) perd une énergie potentielle $\mathrm{\Delta }{E}_{pp}=mgh$ qui devient de l'énergie cinétique : ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=mgh$, d'où $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times \mathrm{9,8}\times \mathrm{1,25}}=\sqrt{\mathrm{24,5}}\approx \mathrm{4,9}\text{ m/s}$. La masse a disparu de l'équation : toutes les billes, lourdes ou légères, arrivent en bas à la même vitesse (chute libre).

Le piège de Karim : oublier de fixer l'origine des altitudes

Karim calcule l'énergie potentielle d'un objet « à $z=3\text{ m}$ » sans préciser par rapport à quoi. Or $E_{pp}=mgz$ n'a de valeur numérique qu'une fois l'origine $z=0$ fixée. Le même objet a une énergie potentielle différente selon qu'on compte l'altitude depuis le sol, depuis une table, ou depuis le niveau de la mer. Ce qui ne change pas, c'est la différence $E_{pp}(A)-E_{pp}(B)$ entre deux points : elle est indépendante de l'origine. Avant tout calcul d'$E_{pp}$, annonce : « je prends $z=0$ à... ».

Énergie mécanique et sa conservation

Tu disposes maintenant de deux énergies : l'énergie cinétique $E_c$ (du mouvement) et l'énergie potentielle $E_{pp}$ (de l'altitude). L'idée géniale est de les additionner en une seule grandeur, qui va se comporter de façon remarquable.

Exemple 1. En haut de la piste, Yasmine ($m=60\text{ kg}$) est presque immobile ($v\approx 0$) à $z=50\text{ m}$ : $E_m=0+60\times \mathrm{9,8}\times 50=29400\text{ J}$. Toute son énergie mécanique est, à cet instant, sous forme potentielle.

La conservation de l'énergie mécanique

Que devient l'énergie mécanique pendant la descente ? Si les frottements sont négligeables (et que seul le poids travaille), il se produit quelque chose de magnifique : la somme $E_c+E_{pp}$ reste constante. L'énergie potentielle qui disparaît réapparaît, joule pour joule, en énergie cinétique.

Exemple 2. Yasmine descend de $z=50\text{ m}$ ($v_A\approx 0$) au bas de la piste $z=0$, frottements négligés. Conservation : $E_m(A)=E_m(B)$, donc $mg{z}_A={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_B^2⟹v_B=\sqrt{2g{z}_A}=\sqrt{2\times \mathrm{9,8}\times 50}=\sqrt{980}\approx \mathrm{31,3}\text{ m/s}\mathrm{.}$ Soit environ $\mathrm{31,3}\times \mathrm{3,6}\approx 113\text{ km/h}$. La masse disparaît : la vitesse en bas ne dépend que de la hauteur de descente.

Non-conservation avec frottements

Dans la réalité, les frottements (neige, air) existent toujours. Leur travail est résistant (négatif) : ils retirent de l'énergie mécanique au système, qui se dissipe sous forme de chaleur. L'énergie mécanique diminue alors au cours du mouvement.

À retenir (non-conservation). En présence de frottements, l'énergie mécanique n'est plus conservée : elle diminue, car le travail des frottements (résistant) est négatif. La perte d'énergie mécanique $E_m(A)-E_m(B)$ est égale à l'énergie dissipée par les frottements (chaleur). L'énergie totale, elle, est toujours conservée : elle change seulement de forme.

Exemple 3. Avec frottements, Yasmine arrive en bas non pas à $\mathrm{31,3}\text{ m/s}$ mais à, disons, $v_B=20\text{ m/s}$. Son énergie mécanique a diminué : $E_m(A)=29400\text{ J}$, $E_m(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 60\times {20}^2=12000\text{ J}$. La perte $29400-12000=17400\text{ J}$ a été dissipée en chaleur par les frottements de la neige et de l'air.

Le piège de Salma : croire l'énergie mécanique conservée malgré les frottements

Salma applique « $E_m$ = constante » à une luge qui freine sur une piste rugueuse et trouve une vitesse en bas trop grande. Erreur : la conservation de l'énergie mécanique ne vaut que si les frottements sont négligeables. Dès qu'il y a des frottements notables, $E_m$ diminue et il faut écrire $E_m(B)=E_m(A)+W(\vec{f})$ avec $W(\vec{f})<0$. Avant d'écrire « $E_m$ = constante », demande-toi toujours : « peut-on négliger les frottements ici ? ». Si non, l'énergie mécanique n'est pas conservée.

Pièges classiques

1. Oublier le facteur ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ dans l'énergie cinétique. L'énergie cinétique est $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$, pas $m{v}^2$. Le ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ n'est pas décoratif : l'omettre double la valeur. Vérifie toujours sa présence avant de conclure.

2. Croire que doubler la vitesse double l'énergie cinétique. Comme $E_c\propto v^2$, doubler $v$ quadruple $E_c$ (et la distance de freinage). Tripler $v$ la multiplie par $9$. Le carré gouverne tout : c'est pourquoi un excès de vitesse est si dangereux.

3. Confondre travail et puissance. Le travail $W$ (en joules) est l'énergie transférée au cours d'un déplacement ; il ne fait pas intervenir le temps. La puissance, elle, est un travail par unité de temps ($P=W\mathrm{/}\mathrm{\Delta }t$, en watts). Une force peut fournir le même travail lentement (faible puissance) ou vite (forte puissance). Ne mélange pas les deux : le travail répond à « combien d'énergie ? », la puissance à « à quelle vitesse ? ».

4. Se tromper de signe pour le travail du poids. Le poids travaille positivement en descente (il est moteur, $W=+mgh$) et négativement en montée (il est résistant, $W=-mgh$). Une descente libère de l'énergie, une montée en coûte. Si ton signe contredit cette logique, recommence.

5. Oublier le $\cos \alpha$ pour une force non colinéaire au déplacement. $W=F\times AB$ ne vaut que si la force est dans le sens du déplacement ($\alpha =0$). Dès que la force est inclinée, il faut $W=F\times AB\times \cos \alpha$. Une force perpendiculaire ($\alpha =90\mathrm{°}$) ne travaille pas du tout.

6. Croire l'énergie mécanique conservée en présence de frottements. $E_m=$ constante n'est valable que si les frottements sont négligeables. Avec des frottements notables, leur travail résistant fait diminuer $E_m$, l'énergie perdue étant dissipée en chaleur. Toujours se demander : « les frottements sont-ils négligeables ? » avant d'invoquer la conservation.

Application concrète

Yasmine est au sommet de la grande piste d'Oukaïmeden, prête à descendre à ski. On modélise Yasmine et ses skis par un système de masse $m=60\text{ kg}$, partant du repos ($v_A=0$) en haut, à une altitude $z_A=45\text{ m}$ au-dessus du bas de la piste, pris comme origine ($z_B=0$). On prend $g=\mathrm{9,8}\text{ N/kg}$ et le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Étape 1 — Calculer l'énergie mécanique au départ. En haut, Yasmine est immobile : $E_c(A)=0$. Son énergie potentielle vaut $E_{pp}(A)=mg{z}_A=60\times \mathrm{9,8}\times 45=26460\text{ J}$. Son énergie mécanique de départ est donc $E_m(A)=E_c(A)+E_{pp}(A)=0+26460=26460\text{ J}\approx \mathrm{26,5}\text{ kJ}\mathrm{.}$

Étape 2 — Cas idéal : sans frottement. Si on néglige les frottements, l'énergie mécanique se conserve : $E_m(B)=E_m(A)$. En bas, $z_B=0$ donc $E_{pp}(B)=0$ et toute l'énergie est cinétique : ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_B^2=E_m(A)=26460\text{ J}⟹v_B=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 26460}{60}}}=\sqrt{882}\approx \mathrm{29,7}\text{ m/s}\mathrm{.}$ Soit environ $\mathrm{29,7}\times \mathrm{3,6}\approx 107\text{ km/h}$. On retrouve $v_B=\sqrt{2g{z}_A}$ : la masse n'intervient pas.

Étape 3 — Cas réel : avec frottements. En réalité, les frottements (neige, air) travaillent de façon résistante. Supposons qu'ils dissipent une énergie de $9000\text{ J}$ sur la descente. L'énergie mécanique en bas vaut alors $E_m(B)=E_m(A)+W(\vec{f})=26460+(-9000)=17460\text{ J}\mathrm{.}$

Étape 4 — En déduire la vitesse réelle en bas. En bas, toute cette énergie mécanique est encore cinétique ($z_B=0$) : ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_B^2=17460⟹v_B=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 17460}{60}}}=\sqrt{582}\approx \mathrm{24,1}\text{ m/s},$ soit environ $\mathrm{24,1}\times \mathrm{3,6}\approx 87\text{ km/h}$. Les frottements lui ont coûté presque $20\text{ km/h}$ : c'est loin d'être négligeable.

Conclusion. La démarche énergétique est d'une puissance redoutable : sans suivre la trajectoire instant par instant, sans connaître la forme exacte de la piste, on relie directement l'altitude de départ à la vitesse d'arrivée par un simple bilan d'énergie. Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve ; avec frottement, elle diminue d'une quantité égale à l'énergie dissipée en chaleur. En terminale, tu formaliseras ce raisonnement avec le théorème de l'énergie mécanique ($\mathrm{\Delta }{E}_m=\sum W({\vec{F}}_{\text{non conservatives}})$) et tu apprendras à classer les forces en conservatives (comme le poids) et non conservatives (comme les frottements). Tu tiens déjà l'essentiel : ici, à Oukaïmeden, dans la descente de Yasmine.

À retenir