Nombres réels, intervalles et valeur absolue

La droite réelle et les ensembles de nombres

Au collège, tu as construit les nombres par étapes, en fonction de ce que tu voulais pouvoir faire avec eux. On compte des moutons : les entiers naturels suffisent. On veut soustraire librement, ou descendre sous zéro pour une température à Ifrane : il faut les entiers relatifs. On partage en parts égales : voici les fractions. Chaque besoin nouveau a fait naître un ensemble de nombres plus large que le précédent.

Ces ensembles s'emboîtent les uns dans les autres, comme des poupées russes :

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans » : tout entier naturel est aussi un entier relatif, tout décimal est un rationnel, et ainsi de suite. Chaque ensemble contient le précédent et lui ajoute des nombres nouveaux.

Exemple 1. Le nombre $3$ appartient à $\mathbb{N}$, donc aussi à $\mathbb{Z}$, à $\mathbb{D}$, à $\mathbb{Q}$ et à $\mathbb{R}$. On écrit $3\in \mathbb{N}$, le symbole $\in$ se lisant « appartient à ».

Exemple 2. Le nombre $-2$ appartient à $\mathbb{Z}$ mais pas à $\mathbb{N}$ : un entier relatif négatif n'est pas un entier naturel.

Exemple 3. Le nombre $\mathrm{0,25}$ appartient à $\mathbb{D}$ : il a un nombre fini de chiffres après la virgule. Il appartient aussi à $\mathbb{Q}$, car $\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Exemple 4. Le nombre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ appartient à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$ : son écriture décimale $\mathrm{0,3333}\dots$ ne s'arrête jamais.

Les nombres irrationnels

Tu pourrais croire que tout nombre est une fraction. C'est faux, et c'est l'une des découvertes les plus profondes des mathématiques. Certains réels ne peuvent s'écrire comme aucun quotient d'entiers : on les appelle irrationnels, et ils peuplent $\mathbb{R}$ sans appartenir à $\mathbb{Q}$.

Son écriture décimale, $\mathrm{1,41421356}\dots$, ne s'arrête jamais et ne devient jamais périodique. La démonstration de ce fait, élégante et redoutable, t'attend en classe préparatoire ; retiens pour l'instant qu'elle existe et que ce résultat a bouleversé les mathématiciens grecs, qui croyaient tout nombre exprimable par un rapport d'entiers.

Exemple 5. Le nombre $\pi \approx \mathrm{3,14159}\dots$, qui relie le périmètre d'un cercle à son diamètre, est lui aussi irrationnel : aucune fraction ne lui est égale. Quand tu écris $\pi ={\displaystyle \frac{22}{7}}$, tu ne donnes qu'une valeur approchée, jamais la valeur exacte.

Le piège du « écrit avec une virgule, donc décimal »

Salma affirme que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est un nombre décimal « puisqu'on peut l'écrire $\mathrm{0,33}$ ». C'est une double erreur. D'abord, $\mathrm{0,33}$ n'est qu'une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, pas sa valeur exacte : $\mathrm{0,33}={\displaystyle \frac{33}{100}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Ensuite, un nombre décimal doit avoir un nombre fini de chiffres après la virgule. Or ${\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,3333}\dots$ ne s'arrête jamais : il est rationnel, mais pas décimal. Avoir une écriture à virgule ne suffit pas à être décimal ; il faut que cette écriture se termine.

Intervalles et appartenance

Une fois la droite réelle en place, on a souvent besoin de désigner non pas un seul nombre, mais tout un morceau de la droite : « tous les réels compris entre $2$ et $5$ », « tous les réels supérieurs à $3$ ». Plutôt que d'écrire ces phrases à chaque fois, les mathématiciens ont inventé une notation compacte et précise : les intervalles.

Le point décisif, celui qui fait toute la subtilité du chapitre, est le sens des crochets. Un crochet fermé inclut la borne ; un crochet ouvert l'exclut.

Exemple 1. $4\in [2;5]$ car $2\le 4\le 5$. De même $2\in [2;5]$ et $5\in [2;5]$ : les bornes font partie de l'intervalle fermé.

Exemple 2. $2\mathrm{\notin }]2;5[$ : la borne $2$ est exclue de l'intervalle ouvert. En revanche $\mathrm{2,001}\in ]2;5[$, car on peut s'approcher de $2$ aussi près qu'on veut sans l'atteindre.

Les bornes infinies

Pour décrire « tous les réels supérieurs à $3$ », il n'y a pas de borne à droite : la droite réelle se prolonge sans fin. On utilise alors le symbole $\mathrm{\infty }$ (l'infini).

Le côté de l'infini porte toujours un crochet ouvert : l'infini n'est pas un nombre, il n'est jamais atteint, donc jamais inclus. L'ensemble $\mathbb{R}$ tout entier se note d'ailleurs $]-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }[$.

Exemple 3. Karim doit écrire « tous les réels strictement inférieurs à $3$ ». La réponse est $]-\mathrm{\infty };3[$ : crochet ouvert sur $3$ (car strictement), et crochet ouvert du côté de $-\mathrm{\infty }$ (toujours).

Réunion et intersection

Deux intervalles peuvent se combiner. L'intersection $\cap$ retient ce qui est dans les deux à la fois ; la réunion $\cup$ retient ce qui est dans l'un ou dans l'autre.

Exemple 4. $[1;5]\cap [3;8]=[3;8]$ ? Non : l'intersection ne garde que la zone commune, c'est-à-dire $[3;5]$. Un réel doit être à la fois $\ge 3$ et $\le 5$.

Exemple 5. $]-\mathrm{\infty };2]\cup [2;+\mathrm{\infty }[=\mathbb{R}$ : tout réel est soit $\le 2$, soit $\ge 2$ (et $2$ est dans les deux). La réunion couvre toute la droite.

Le piège du crochet à l'envers vers l'infini

Salma veut écrire les réels supérieurs ou égaux à $4$ et propose $]4;+\mathrm{\infty }]$. Deux fautes d'un coup. D'abord, « supérieur ou égal » exige une borne $4$ incluse, donc un crochet fermé : $[4\dots$. Ensuite, du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, car $+\mathrm{\infty }$ n'est pas un nombre qu'on puisse atteindre. La bonne écriture est $[4;+\mathrm{\infty }[$. Le réflexe à graver : on ne ferme jamais un crochet sur l'infini.

Encadrements et approximations

En physique, en mécanique, dans la vie courante, on ne travaille presque jamais avec des valeurs exactes : on travaille avec des approximations contrôlées. Dire qu'une longueur vaut « entre $\mathrm{49,8}$ et $\mathrm{50,2}$ mm », c'est l'encadrer. Savoir encadrer un nombre, et maîtriser la finesse de cet encadrement, est une compétence centrale de toute la science.

Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis : il enferme $x$ dans un intervalle plus étroit.

Exemple 1. Puisque $\sqrt{2}=\mathrm{1,41421}\dots$, on peut écrire l'encadrement $\mathrm{1,4}\le \sqrt{2}\le \mathrm{1,5}$ : c'est un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,1}$. En affinant, $\mathrm{1,41}\le \sqrt{2}\le \mathrm{1,42}$ a une amplitude de $\mathrm{0,01}$ : il est dix fois plus précis.

Arrondi et valeur approchée à ${10}^{-n}$ près

Quand on coupe l'écriture décimale d'un nombre à un certain rang, on en donne une valeur approchée. Si l'on choisit le décimal le plus proche, on parle d'arrondi.

Exemple 2. Pour $\pi =\mathrm{3,14159}\dots$, l'arrondi à ${10}^{-2}$ près (c'est-à-dire au centième) est $\mathrm{3,14}$, car le chiffre suivant est $1<5$. L'arrondi à ${10}^{-3}$ près est $\mathrm{3,142}$, car le chiffre suivant, $5$, fait monter le $1$ en $2$.

Exemple 3. Yasmine relève une masse de $\mathrm{7,268}$ kg sur une balance. Son arrondi à ${10}^{-1}$ près (au dixième) est $\mathrm{7,3}$ kg, car le chiffre des centièmes, $6$, est $\ge 5$.

Encadrer une somme

Les encadrements se combinent, ce qui les rend très utiles. Si l'on connaît un encadrement de deux quantités, on en déduit un encadrement de leur somme.

Exemple 4. Amine achète deux articles au souk. Le premier est annoncé « entre $30$ et $32$ dh », le second « entre $45$ et $48$ dh ». Le total est donc compris entre $30+45=75$ dh et $32+48=80$ dh : Amine est sûr de payer entre $75$ et $80$ dh, sans connaître le prix exact.

Le piège de l'arrondi qui propage l'erreur

Karim doit calculer l'aire d'un disque de rayon $2$ m. Il arrondit d'abord $\pi$ à $3$, calcule $3\times 2^2=12$ m², et annonce ce résultat comme exact. L'erreur n'est pas dans le calcul mais dans la confusion entre valeur approchée et valeur exacte. La vraie aire est $4\pi \approx \mathrm{12,566}$ m². En arrondissant $\pi$ trop tôt et trop grossièrement, Karim a perdu en précision avant de calculer, et l'erreur s'est propagée. La règle de l'artisan : on arrondit le plus tard possible, et on garde plusieurs décimales dans les calculs intermédiaires.

Valeur absolue et distance

Reviens à l'atelier de Yasmine. La consigne « $50$ mm à $\mathrm{0,2}$ mm près » parle d'un écart : peu importe que la pièce soit un peu trop longue ou un peu trop courte, ce qui compte, c'est de combien elle s'éloigne de $50$. Cet écart, toujours positif, est exactement ce que mesure la valeur absolue. C'est l'outil qui transforme une différence signée en une distance.

Ainsi $\mathrm{\mid }7\mathrm{\mid }=7$ et $\mathrm{\mid }-7\mathrm{\mid }=7$ : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue, car ils sont à la même distance de zéro. C'est le prolongement direct de la « distance à zéro » que tu manipulais déjà avec les nombres relatifs au collège.

Exemple 1. $\mathrm{\mid }\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }=\mathrm{3,5}$ ; $\mathrm{\mid }-\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }=\mathrm{3,5}$ ; $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$.

La valeur absolue mesure une distance entre deux réels

L'idée vraiment puissante : la valeur absolue ne mesure pas seulement la distance à zéro, mais la distance entre deux réels quelconques.

Exemple 2. La distance entre $2$ et $7$ est $\mathrm{\mid }2-7\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }=5$. Si l'on calcule dans l'autre sens, $\mathrm{\mid }7-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }=5$ : même résultat. La distance ne dépend pas de l'ordre, ce qui est rassurant — une distance n'a pas de signe.

Exemple 3. La distance entre $-3$ et $4$ est $\mathrm{\mid }-3-4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-7\mathrm{\mid }=7$. Sur la droite, il y a bien $7$ unités entre ces deux points.

Une inégalité de valeur absolue est un intervalle

Voici le pont qui relie ce chapitre tout entier. Une contrainte du type « $x$ est à une distance d'au plus $r$ de $a$ » se traduit à la fois par une valeur absolue et par un intervalle.

Exemple 4. La condition $\mathrm{\mid }x-50\mathrm{\mid }\le \mathrm{0,2}$ — la tolérance de Yasmine — équivaut à $\mathrm{49,8}\le x\le \mathrm{50,2}$, soit $x\in [\mathrm{49,8};\mathrm{50,2}]$. La valeur absolue et l'intervalle décrivent exactement la même contrainte de fabrication.

Exemple 5. Résoudre $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }<2$ : on cherche les réels à distance strictement inférieure à $2$ de $3$. La réponse est $1<x<5$, soit $x\in ]1;5[$ (crochets ouverts, car l'inégalité est stricte).

Le piège du « $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ toujours »

Karim simplifie $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ en $x$ par automatisme et écrit $\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=-4$. C'est l'erreur centrale de la leçon. La valeur absolue est toujours positive ou nulle : $\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4$, jamais $-4$. La règle $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ n'est valable que lorsque $x$ est déjà positif ou nul ; dès que $x$ est négatif, $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$, et $-x$ devient alors un nombre positif. Tu reverras cette précaution en classe préparatoire, où la valeur absolue comme distance devient l'outil de base pour définir les limites et la continuité d'une fonction : « $x$ proche de $a$ » s'y écrira précisément « $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ petit ».

Pièges classiques

1. Confondre $[a;b]$ et $]a;b[$. Le crochet fermé inclut la borne, le crochet ouvert l'exclut. Ainsi $2\in [2;5]$ mais $2\mathrm{\notin }]2;5[$. Une seule barre de crochet retournée change l'ensemble : lis-les toujours avec attention.

2. Fermer un crochet sur l'infini. Écrire $[4;+\mathrm{\infty }]$ est une faute : $+\mathrm{\infty }$ n'est pas un nombre, il ne peut jamais être atteint ni inclus. Le crochet du côté de l'infini est toujours ouvert : $[4;+\mathrm{\infty }[$.

3. Mal lire $]-\mathrm{\infty };3[$. Cet intervalle désigne tous les réels strictement inférieurs à $3$, et non « entre moins l'infini et $3$ inclus ». Le crochet ouvert sur $3$ exclut $3$ ; on a donc $x<3$, par exemple $\mathrm{2,9}$, $0$, $-100$, mais pas $3$.

4. Croire que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ toujours. La valeur absolue est positive ou nulle : $\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4$, pas $-4$. La formule $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ ne vaut que pour $x\ge 0$ ; pour $x<0$, c'est $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$.

5. Penser que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est décimal. Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule. Or ${\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,333}\dots$ ne s'arrête jamais : il est rationnel mais pas décimal. Avoir une virgule ne suffit pas ; l'écriture doit se terminer.

6. Arrondir trop tôt dans un calcul. Remplacer $\pi$ par $3$ dès le début d'un calcul fausse le résultat final. La valeur approchée propage son erreur dans tout ce qui suit. On garde plusieurs décimales dans les étapes intermédiaires et on n'arrondit qu'à la toute fin.

Application concrète

Yasmine doit contrôler un lot de pièces usinées dans l'atelier de Tanger. Le cahier des charges impose une longueur de $50$ mm avec une tolérance de $\mathrm{0,3}$ mm, et un prix de revient à respecter. Elle va traverser tout le chapitre pour rendre son verdict.

Étape 1 — Traduire la tolérance en intervalle. « $50$ mm à $\mathrm{0,3}$ mm près » signifie que la longueur $\mathrm{\ell }$ doit vérifier $\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-50\mathrm{\mid }\le \mathrm{0,3}$. D'après le théorème de la valeur absolue, cela équivaut à $50-\mathrm{0,3}\le \mathrm{\ell }\le 50+\mathrm{0,3}$, soit $\mathrm{\ell }\in [\mathrm{49,7};\mathrm{50,3}]$. Voilà l'intervalle des pièces acceptables.

Étape 2 — Tester une pièce avec la distance. La première pièce mesure $\mathrm{50,25}$ mm. Yasmine calcule son écart à la cible : $\mathrm{\mid }\mathrm{50,25}-50\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathrm{0,25}\mathrm{\mid }=\mathrm{0,25}$ mm. Comme $\mathrm{0,25}\le \mathrm{0,3}$, la pièce est dans la tolérance. Une deuxième pièce mesure $\mathrm{49,6}$ mm : $\mathrm{\mid }\mathrm{49,6}-50\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-\mathrm{0,4}\mathrm{\mid }=\mathrm{0,4}$ mm. Cette fois $\mathrm{0,4}>\mathrm{0,3}$ : la pièce est rejetée, elle est trop courte.

Étape 3 — Encadrer une mesure imprécise. Le pied à coulisse de Yasmine n'affiche que les dixièmes de millimètre : une pièce lue $\mathrm{50,1}$ mm vaut en réalité une longueur comprise entre $\mathrm{50,05}$ et $\mathrm{50,15}$ mm (arrondi au dixième près). Cet encadrement, d'amplitude $\mathrm{0,1}$ mm, est entièrement contenu dans $[\mathrm{49,7};\mathrm{50,3}]$ : la pièce est sûrement acceptable, malgré l'imprécision de l'instrument.

Étape 4 — Encadrer le coût du lot. Chaque pièce conforme est facturée entre $12$ et $14$ dh selon la finition. Pour un lot de $20$ pièces, le coût total est encadré en additionnant : entre $20\times 12=240$ dh et $20\times 14=280$ dh. Yasmine sait donc, sans connaître le prix exact, que la facture tombera dans l'intervalle $[240;280]$ dh.

Étape 5 — Réunir les pièces hors tolérance. Yasmine classe les rebuts : ceux qui sont trop courts vérifient $\mathrm{\ell }<\mathrm{49,7}$, ceux qui sont trop longs vérifient $\mathrm{\ell }>\mathrm{50,3}$. L'ensemble des pièces rejetées est la réunion $]-\mathrm{\infty };\mathrm{49,7}[\cup ]\mathrm{50,3};+\mathrm{\infty }[$ : tout ce qui tombe en dehors de l'intervalle de tolérance, des deux côtés.

Conclusion. En une seule mission de contrôle, Yasmine a manipulé les réels, traduit une tolérance en intervalle, mesuré un écart par une valeur absolue, encadré une mesure et un coût, et décrit un ensemble par une réunion d'intervalles. Ces gestes ne sont pas scolaires : ce sont ceux de tout ingénieur, de tout physicien, de tout économiste qui travaille avec des grandeurs réelles. La valeur absolue comme distance, que tu retrouveras en classe préparatoire au cœur des limites et de la continuité, prend ici tout son sens concret : maîtriser « à quelle distance suis-je de la cible ? », c'est maîtriser la précision elle-même.

À retenir