Nombres réels, intervalles et valeur absolue — exercices corrigés

À quel ensemble le plus petit le nombre $3$ appartient-il ?

Le nombre $-2$ appartient à $\mathbb{N}$.

Comment se lit l'énoncé $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ ?

Salma affirme que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est un nombre décimal. A-t-elle raison ?

Que peut-on affirmer du nombre $\sqrt{2}$ ?

On a $4\in [2;5]$.

Le nombre $2$ appartient-il à l'intervalle $]2;5[$ ?

Quel intervalle décrit l'ensemble des réels $x$ tels que $x\ge 3$ ?

L'écriture $[4;+\mathrm{\infty }]$ est correcte.

Calcule $\mathrm{\mid }-7\mathrm{\mid }$.

Calcule $\mathrm{\mid }\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }$.

Quelle est la distance entre les réels $2$ et $7$ sur la droite réelle ?

Que retient l'intersection $A\cap B$ de deux ensembles ?

À quel ensemble le nombre $\pi$ appartient-il, mais pas aux précédents de la chaîne $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ ?

Que signifie le symbole $\cup$ entre deux ensembles $A\cup B$ ?

Karim doit écrire l'intervalle de tous les réels strictement inférieurs à $3$. Quelle écriture est correcte ?

A-t-on $5\in [2;5]$ ?

Quelle est la distance entre les réels $-3$ et $4$ sur la droite réelle ?

On encadre $\sqrt{2}$ par $\mathrm{1,4}\le \sqrt{2}\le \mathrm{1,5}$. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?

À l'atelier de Tanger, Yasmine lit la consigne : une pièce doit mesurer $50$ mm « à $\mathrm{0,2}$ mm près ». Écris l'intervalle des longueurs $\mathrm{\ell }$ (en mm) acceptées.

Parmi ces affirmations sur le nombre $\mathrm{0,25}$, laquelle est fausse ?

Que vaut $[1;5]\cap [3;8]$ ?

Karim affirme que $]-\mathrm{\infty };2]\cup [2;+\mathrm{\infty }[=\mathbb{R}$. A-t-il raison ?

Quel intervalle décrit l'ensemble des réels $x$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\le 2$ ?

Donne l'arrondi de $\pi =\mathrm{3,14159}\dots$ à ${10}^{-2}$ près (au centième).

Au souk de Marrakech, Amine achète un premier article annoncé « entre $30$ et $32$ dh » et un second « entre $45$ et $48$ dh ». Quelle est la borne supérieure (maximale) du prix total qu'il pourrait payer, en dirhams ?

La consigne de l'atelier de Tanger est $\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-50\mathrm{\mid }\le \mathrm{0,3}$. Une pièce mesure $\mathrm{49,6}$ mm. Yasmine affirme qu'elle est dans la tolérance. A-t-elle raison ?

Une température $t$ à Ifrane vérifie $-5\le t<3$ (en °C). Quel intervalle décrit exactement les valeurs possibles de $t$ ?

A-t-on $4\in [2;6]\cap [0;4[$ ?

Un matin d'hiver à Ifrane, le thermomètre affiche $-6$ °C ; l'après-midi, il monte à $4$ °C. De combien de degrés la température a-t-elle varié (écart entre les deux relevés) ?

Que vaut $[0;2]\cup [1;5]$ ?

Yasmine relève une masse de $\mathrm{7,268}$ kg sur une balance. Donne son arrondi à ${10}^{-1}$ près (au dixième), en kg.

Parmi ces nombres, lequel est rationnel mais pas décimal ?

Quel intervalle décrit l'ensemble des réels $x$ tels que $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }<2$ ?

On veut écrire l'intervalle $[8;12]$ sous la forme $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\le r$. Quelle est la valeur du rayon $r$ ?

Salma veut écrire « tous les réels supérieurs ou égaux à $4$ » et propose $]4;+\mathrm{\infty }]$. Cette écriture est-elle correcte ?

Sachant que $\sqrt{2}=\mathrm{1,41421}\dots$, on l'encadre par $\mathrm{1,41}\le \sqrt{2}\le \mathrm{1,42}$. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?

À quel(s) intervalle(s) parmi les suivants le nombre $2$ appartient-il ?

Salma affirme qu'un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,01}$ est plus précis qu'un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,1}$. Karim pense le contraire : « un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,1}$ est plus large, donc il contient plus d'information ». Lequel a raison ?

L'ensemble des solutions de $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }\le 5$ est l'intervalle $[a;b]$. Quelle est la valeur de $b$ ?

Dans son atelier à Tanger, Yasmine note la consigne « la cote acceptée va de $2$ à $5$, bornes non comprises » et la traduit par l'intervalle $]2;5[$. Karim regarde son brouillon et affirme : « la valeur $2$ est bien acceptée, puisque $2$ est écrit comme borne de l'intervalle ». A-t-il raison ?

Salma lit l'intervalle $]-\mathrm{\infty };3[$ dans son cours et le décrit ainsi à Amine : « ce sont tous les réels compris entre moins l'infini et $3$, le $3$ étant inclus ». Que décrit réellement l'intervalle $]-\mathrm{\infty };3[$ ?

Amine soutient à Yasmine que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est un nombre décimal. Sa justification : « avec la calculatrice je lis $\mathrm{0,33}$, et $\mathrm{0,33}$ s'écrit avec une virgule, donc ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est décimal ». A-t-il raison ?

À l'atelier d'usinage de Tanger où Yasmine effectue son stage, trois pièces métalliques viennent de sortir du tour. Le cahier des charges exige une longueur de référence de $35$ mm avec une tolérance de $\mathrm{0,4}$ mm.

Les mesures relevées sont :

• Pièce A : $\mathrm{34,7}$ mm
• Pièce B : $\mathrm{35,3}$ mm
• Pièce C : $\mathrm{35,5}$ mm

a. Traduis la contrainte de tolérance en une inégalité de valeur absolue, puis en un intervalle.

b. Pour chaque pièce, calcule la distance à la valeur de référence et dis si elle est conforme.

c. Yasmine range les pièces non conformes dans un bac de rebuts. Décris l'ensemble des longueurs des pièces rejetées sous forme de réunion d'intervalles.

Amine examine quatre nombres : $-7$, ${\displaystyle \frac{5}{4}}$, $\sqrt{3}$ et $\mathrm{0,375}$.

Quelle proposition décrit correctement leurs appartenances aux ensembles de nombres ?

Soient les intervalles $A=[-1;4]$, $B=]2;7[$ et $C=]-\mathrm{\infty };3]$.

Quelle est l'écriture correcte de $A\cap B\cap C$ ?

L'intervalle de tolérance d'une pièce usinée est $[\mathrm{4,5};\mathrm{10,5}]$. Exprime cet intervalle sous la forme $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\le r$. Quelle est la valeur du rayon $r$ ?

Karim affirme que tout nombre décimal est un nombre rationnel, mais que la réciproque est fausse : certains rationnels ne sont pas décimaux. Salma répond que puisque $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, tout entier relatif négatif est aussi un entier naturel.

Ces deux affirmations sont-elles vraies ou fausses ?

Au souk de Marrakech, Amine achète trois articles. Le prix du premier est compris entre $40$ et $45$ dh, celui du deuxième entre $55$ et $60$ dh, et celui du troisième entre $75$ et $80$ dh. Quelle est la valeur maximale que peut atteindre le total des achats d'Amine ?

Karim affirme que pour tout réel $x$, on a $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$. Il justifie : « la valeur absolue, c'est juste le nombre sans son signe, donc c'est toujours égal au nombre lui-même ». Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Deux températures relevées à Ifrane un même jour sont $t_1=-4$ °C le matin et $t_2=7$ °C l'après-midi. Calcule la distance entre ces deux températures sur la droite réelle (en °C).

Karim doit calculer $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Il adopte la stratégie suivante : il arrondit d'abord $\sqrt{2}$ à $\mathrm{1,4}$ et $\sqrt{3}$ à $\mathrm{1,7}$, puis il additionne $\mathrm{1,4}+\mathrm{1,7}=\mathrm{3,1}$.

La valeur exacte est $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\mathrm{3,14626}\dots$

Quel est l'écart entre le résultat de Karim et la valeur exacte, arrondi au centième ?

Salma résout l'inégalité $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }<4$. Elle propose l'intervalle solution $[-5;3]$. A-t-elle raison ?

À Ifrane, les relevés météorologiques montrent que la température en janvier oscille entre $-10$ °C et $5$ °C, et qu'en juillet elle est comprise entre $15$ °C et $32$ °C.

a. Écris les ensembles de températures de janvier et de juillet sous forme d'intervalles fermés.

b. Calcule l'intersection de ces deux intervalles et interprète le résultat.

c. Yasmine affirme que la réunion des deux intervalles représente toutes les températures observées à Ifrane au cours de l'année. Amine objecte que la réunion n'est pas connexe. Qui a raison ?

Salma écrit que l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à $-2$ se note $[-2;+\mathrm{\infty }]$. Elle justifie : « le crochet fermé inclut $-2$ et le crochet fermé à droite inclut $+\mathrm{\infty }$ ». Cette écriture est-elle correcte ?

On sait que $2\le a\le 5$ et $3\le b\le 6$. Amine veut encadrer le produit $a\times b$.

Quelle est la valeur minimale possible de $a\times b$ ?

Yasmine affirme que ${\displaystyle \frac{7}{25}}$ est un nombre décimal car elle peut calculer ${\displaystyle \frac{7}{25}}=\mathrm{0,28}$. Karim lui répond que pour vérifier qu'un rationnel est décimal, il faut s'assurer que le dénominateur irréductible ne comporte que des facteurs $2$ et $5$. Ont-ils tous les deux raison ?

La condition de conformité d'un câble électrique fabriqué dans une usine de Tanger est $\mathrm{\mid }2x-6\mathrm{\mid }\le 4$, où $x$ est la résistance mesurée en ohms. Quelle est la valeur maximale que peut prendre $x$ ?

Un capteur de température a deux modes de fonctionnement. En mode normal, il mesure des températures dans $[-20;40]$. En mode haute température, il mesure dans $[35;120]$. Quelle est l'écriture correcte de l'ensemble des températures que ce capteur peut mesurer (en au moins un des deux modes) ?

Amine affirme que $[1;3]\cap ]3;6[=\mathrm{\varnothing }$ car les deux intervalles ne partagent aucun point : $3$ est dans $[1;3]$ mais pas dans $]3;6[$. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Parmi les quatre nombres suivants, lequel est irrationnel ?

Amine veut obtenir un encadrement de $\sqrt{2}$ à ${10}^{-1}$ près (au dixième). Il calcule ${\mathrm{1,4}}^2=\mathrm{1,96}$ et ${\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{2,25}$. Quel encadrement de $\sqrt{2}$ au dixième ces calculs permettent-ils de déduire ?

Karim est chef d'équipe dans un atelier de mécanique à Tanger. Un lot de $5$ pièces vient d'être usiné. La longueur de référence est $20$ mm et la tolérance est $\mathrm{0,5}$ mm.

Les longueurs mesurées (en mm) sont : $\mathrm{19,6}$ ; $\mathrm{20,3}$ ; $\mathrm{20,4}$ ; $\mathrm{21,1}$ ; $\mathrm{19,9}$.

a. Traduis la condition de conformité sous la forme d'une inégalité de valeur absolue et identifie l'intervalle de tolérance.

b. Pour chaque pièce, calcule $\mathrm{\mid }\mathrm{\ell }-20\mathrm{\mid }$ et indique si elle est conforme.

c. Karim affirme : « La pièce à $\mathrm{20,4}$ mm est conforme car elle n'est éloignée que de $\mathrm{0,4}$ mm de la référence, et $\mathrm{0,4}<\mathrm{0,5}$. » Salma rétorque : « Non, $\mathrm{20,4}$ mm c'est presque $\mathrm{20,5}$, donc c'est trop juste. » Qui a raison ? Justifie avec un calcul.

d. Le coût de chaque pièce conforme est de $18$ dh et chaque rebut coûte $5$ dh en destruction. Encadre le coût total du lot en utilisant le nombre de pièces conformes.