Arithmétique et ensembles de nombres

Multiples, diviseurs et division euclidienne

Tu sais depuis le collège qu'une division « tombe juste » ou non : $15$ se partage en $3$ parts égales de $5$, mais $16$ laisse un reste. En Seconde, on transforme cette intuition en un énoncé précis, valable pour tous les entiers, qui sera le point de départ de toute l'arithmétique.

L'idée clé, c'est l'existence d'un entier $k$ : tout repose sur le fait que le partage se fait sans reste. Diviseur et multiple sont les deux faces d'une même pièce, exactement comme tu l'avais vu en 5ᵉ.

Exemple 1. $7$ divise $42$, car $42=7\times 6$. Ici $k=6$. On peut donc dire indifféremment : « $7$ est un diviseur de $42$ » ou « $42$ est un multiple de $7$ ».

Exemple 2. $5$ ne divise pas $23$, car aucun entier $k$ ne vérifie $23=5\times k$ (on a $5\times 4=20$ et $5\times 5=25$, jamais $23$).

Exemple 3. $1$ divise tout entier $a$, puisque $a=1\times a$. Et tout entier non nul se divise lui-même, puisque $a=a\times 1$.

La division euclidienne : quand ça ne tombe pas juste

Quand $b$ ne divise pas $a$, le partage laisse un reste. La division euclidienne formalise exactement cette situation, et c'est l'un des théorèmes les plus utilisés de toute l'arithmétique.

La condition $0⩽r<b$ est essentielle : c'est elle qui rend le couple $(q;r)$ unique. Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur.

Exemple 4. Divisons $23$ par $5$. On a $23=5\times 4+3$, avec $q=4$ et $r=3$. On vérifie bien $0⩽3<5$. Dire que « $5$ divise $23$ » reviendrait à dire que le reste est nul — ce qui est faux ici.

Exemple 5. Divisons $84$ par $12$. On a $84=12\times 7+0$, donc $q=7$ et $r=0$. Le reste est nul : cela signifie précisément que $12$ divise $84$.

Tu vois le lien : $b$ divise $a$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul. La divisibilité n'est qu'un cas particulier de la division euclidienne, celui où $r=0$.

Le piège du reste « négatif »

Karim veut diviser $17$ par $5$ et écrit $17=5\times 4-3$. Le calcul est juste numériquement, mais ce n'est pas la division euclidienne : le reste $-3$ ne vérifie pas $0⩽r<5$. La seule écriture correcte est $17=5\times 3+2$, avec $q=3$ et $r=2$. Le reste doit toujours être positif et strictement inférieur au diviseur, sinon l'unicité du théorème s'effondre.

Parité et critères de divisibilité

Avant de poser une division, on peut souvent savoir d'avance si elle va tomber juste. C'est tout l'intérêt des critères de divisibilité : un coup d'œil aux chiffres suffit. Le plus simple d'entre eux distingue les entiers en deux familles, les pairs et les impairs.

Cette écriture $2k$ ou $2k+1$ est précieuse : elle te permet de raisonner sur la parité, pas seulement de la constater. C'est exactement le genre d'outil que tu mobiliseras pour démontrer des propriétés en spécialité maths.

Exemple 1. $0$ est pair, car $0=2\times 0$. C'est un point que beaucoup oublient : zéro est un entier pair parfaitement légitime.

Exemple 2. Le carré d'un nombre impair est impair. En effet, si $n=2k+1$, alors $n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, qui est bien de la forme $2k^{\mathrm{\prime }}+1$.

Les critères à connaître par cœur

Exemple 3. $2736$ est-il divisible par $3$ ? Somme des chiffres : $2+7+3+6=18$, et $18$ est divisible par $3$. Donc oui. Comme $18$ est même divisible par $9$, le nombre $2736$ l'est aussi.

Exemple 4. $1316$ est-il divisible par $4$ ? On regarde ses deux derniers chiffres : $16$, qui est divisible par $4$. Donc oui, $1316$ est divisible par $4$.

Exemple 5. $4025$ se termine par $5$, donc divisible par $5$ ; mais il est impair, donc pas par $2$, donc pas par $10$.

Le piège de « divisible par 3 et par 2 donc par 6 »

Ici la règle marche, mais pour une raison précise qu'il faut comprendre : $2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. Salma en déduit trop vite que « divisible par $2$ et par $4$ donne divisible par $8$ ». C'est faux : $12$ est divisible par $2$ et par $4$, mais pas par $8$. La combinaison des critères ne fonctionne que pour des diviseurs sans facteur commun. Retiens le contre-exemple plutôt que la fausse règle.

Nombres premiers et décomposition

Parmi tous les entiers, certains résistent à toute factorisation : on ne peut pas les écrire comme un produit de deux entiers plus petits que $1$. Ce sont les nombres premiers, les briques élémentaires à partir desquelles tous les autres se construisent.

Le nombre $1$ n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même. Cette exclusion n'est pas un caprice, elle est indispensable pour que la décomposition d'un nombre soit unique, comme tu vas le voir.

Exemple 1. Les nombres premiers inférieurs à $30$ sont : $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.$ Le seul nombre premier pair est $2$ : tout autre nombre pair a $2$ comme troisième diviseur.

Exemple 2. $51$ est-il premier ? Sa somme des chiffres vaut $5+1=6$, divisible par $3$. Donc $3$ divise $51$ ($51=3\times 17$), et $51$ n'est pas premier. Attention : être impair ne suffit pas à être premier.

Tester la primalité jusqu'à la racine

Pour vérifier qu'un nombre $n$ est premier, on le teste par les premiers successifs $2,3,5,7,\dots$ Mais il est inutile d'aller au-delà de $\sqrt{n}$ : si $n$ avait un diviseur plus grand que $\sqrt{n}$, le diviseur complémentaire serait plus petit que $\sqrt{n}$ et on l'aurait déjà trouvé.

Exemple 3. $97$ est-il premier ? On a $\sqrt{97}\approx \mathrm{9,8}$, donc on teste les premiers jusqu'à $9$ : $2$ (non, impair), $3$ (somme $9+7=16$, non), $5$ (non, ne finit ni par $0$ ni par $5$), $7$ ($7\times 13=91$, $7\times 14=98$, non). Aucun ne divise $97$ : il est premier.

C'est la « carte d'identité » d'un nombre : sa décomposition le caractérise complètement du point de vue de la divisibilité.

Exemple 4. Décomposons $360$. On divise par les premiers successifs : $360=2\times 180=2^2\times 90=2^3\times 45=2^3\times 3^2\times 5.$ Donc $360=2^3\times 3^2\times 5$, et cette écriture est la seule possible.

Fractions irréductibles et PGCD

Quand tu manipules ${\displaystyle \frac{84}{126}}$, tu sens bien qu'on peut « simplifier ». Mais simplifier au hasard est lent et risqué. La décomposition en facteurs premiers donne la méthode propre et définitive, via la notion de plus grand diviseur commun.

Exemple 1. Les diviseurs communs de $12$ et $18$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$ ; le plus grand est $6$, donc $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(12;18)=6$.

Calculer le PGCD par décomposition

Exemple 2. $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(84;126)$. On décompose : $84=2^2\times 3\times 7$ et $126=2\times 3^2\times 7$. Facteurs communs : $2$, $3$ et $7$, avec les plus petites puissances $2^1$, $3^1$, $7^1$. Donc $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(84;126)=2\times 3\times 7=42.$

Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$, autrement dit lorsque leur PGCD vaut $1$. On dit alors que ces deux entiers sont premiers entre eux.

Exemple 3. Simplifions ${\displaystyle \frac{84}{126}}$. Comme $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(84;126)=42$ : ${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{84÷42}{126÷42}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$ Et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est irréductible, car $2$ et $3$ sont premiers entre eux.

Le piège de la simplification « terme à terme »

Amine veut simplifier ${\displaystyle \frac{2+6}{2+9}}$ et « barre les $2$ » pour écrire ${\displaystyle \frac{6}{9}}$. C'est faux : on ne simplifie une fraction qu'en divisant le numérateur entier et le dénominateur entier par un même nombre, jamais en supprimant un terme d'une somme. Ici ${\displaystyle \frac{2+6}{2+9}}={\displaystyle \frac{8}{11}}$, qui est déjà irréductible. La simplification porte sur des facteurs, jamais sur des termes additionnés.

Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

Depuis le collège, ta collection de nombres n'a cessé de s'agrandir : d'abord pour compter, puis pour soustraire, diviser, mesurer. En Seconde, on range définitivement ces nombres dans des ensembles emboîtés, et on nomme chacun par sa lettre officielle. C'est un vocabulaire que tu utiliseras toute ta scolarité.

Ces ensembles sont emboîtés les uns dans les autres : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\mathrm{.}$ Chaque inclusion est stricte : à chaque étage on gagne de nouveaux nombres.

Exemple 1. $7$ appartient à $\mathbb{N}$, donc aussi à tous les ensembles plus grands : $7\in \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.

Exemple 2. $-3$ appartient à $\mathbb{Z}$ mais pas à $\mathbb{N}$ (il est négatif). C'est un nombre que Karim utiliserait pour noter une température à Ifrane un matin d'hiver : $-3{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Exemple 3. $\mathrm{2,5}$ est décimal : il appartient à $\mathbb{D}$ mais pas à $\mathbb{Z}$. On peut l'écrire ${\displaystyle \frac{25}{10}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Le piège de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ : rationnel mais pas décimal

La frontière entre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ est subtile. Le nombre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est un rationnel parfaitement légitime, mais son écriture décimale $\mathrm{0,3333}\dots$ ne s'arrête jamais : ce n'est pas un décimal. Pour savoir si une fraction irréductible ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ est décimale, on regarde le dénominateur $b$ : la fraction est décimale si et seulement si $b$ ne contient, dans sa décomposition, que des facteurs $2$ et $5$.

Exemple 4. ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ est décimal, car $20=2^2\times 5$ : effectivement ${\displaystyle \frac{7}{20}}=\mathrm{0,35}$. En revanche ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ ne l'est pas, car $6=2\times 3$ contient un facteur $3$.

Et tous les réels ne sont pas rationnels : $\sqrt{2}$ et $\pi$ ont une écriture décimale infinie non périodique, ils appartiennent à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$. On les appelle nombres irrationnels. Tu démontreras l'irrationalité de $\sqrt{2}$ plus tard dans l'année.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre diviseur et multiple. Dire « $12$ est un diviseur de $3$ » est faux : c'est $3$ qui divise $12$. Le diviseur est toujours plus petit ou égal au nombre qu'il divise. Garde en tête l'écriture $a=b\times k$ : c'est $b$, le facteur, qui divise $a$, le produit.

Piège 2 : oublier la condition sur le reste. Dans la division euclidienne, le reste $r$ doit vérifier $0⩽r<b$. Écrire $17=5\times 4-3$ n'est pas une division euclidienne valide : le reste y est négatif. La seule écriture correcte est $17=5\times 3+2$.

Piège 3 : croire que tout nombre impair est premier. $9=3\times 3$, $15=3\times 5$, $21=3\times 7$ et $51=3\times 17$ sont impairs mais composés. Être impair élimine seulement le facteur $2$ ; il reste à tester $3$, $5$, $7$… jusqu'à $\sqrt{n}$.

Piège 4 : mettre $1$ dans une décomposition. Le nombre $1$ n'est pas premier. Écrire $12=1\times 2^2\times 3$ comme décomposition en facteurs premiers est une faute : la décomposition correcte est $12=2^2\times 3$. Le $1$ n'apporte rien et casserait l'unicité.

Piège 5 : simplifier une somme terme à terme. On ne « barre » jamais un terme dans une somme : ${\displaystyle \frac{2+6}{2+9}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{6}{9}}$. La simplification ne s'applique qu'à des facteurs communs au numérateur et au dénominateur tout entiers.

Piège 6 : confondre rationnel et décimal. Tout décimal est rationnel, mais l'inverse est faux. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est rationnel sans être décimal, car son écriture $\mathrm{0,333}\dots$ est infinie. Le test se fait sur le dénominateur de la fraction irréductible : seuls les facteurs $2$ et $5$ donnent un décimal.

Application concrète

Reprenons Yasmine et sa fête de fin d'année à Casablanca. Elle dispose de 84 jus d'orange et 126 cornes de gazelle, et veut composer des plateaux identiques : même nombre de jus et même nombre de gâteaux par plateau, sans aucun reste. Elle veut aussi connaître le coût d'un plateau, sachant qu'un jus coûte 4 dh et une corne de gazelle 3 dh.

Étape 1 — Traduire le problème en divisibilité. Le nombre de plateaux doit diviser $84$ (pour répartir les jus sans reste) et diviser $126$ (pour les gâteaux). C'est donc un diviseur commun de $84$ et $126$. Pour avoir le plus grand nombre de plateaux possible, Yasmine cherche le plus grand diviseur commun : le PGCD.

Étape 2 — Décomposer en facteurs premiers. On applique la méthode de la leçon 3 : $84=2^2\times 3\times 7,126=2\times 3^2\times 7.$ Les facteurs communs sont $2$, $3$ et $7$, chacun pris à sa plus petite puissance : $2^1$, $3^1$, $7^1$.

Étape 3 — Calculer le PGCD et conclure sur les plateaux. $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(84;126)=2\times 3\times 7=42.$ Yasmine peut donc composer 42 plateaux identiques au maximum.

Étape 4 — Contenu de chaque plateau. On effectue les divisions euclidiennes, dont le reste est nul par construction : $84÷42=2,126÷42=3.$ Chaque plateau contient donc 2 jus et 3 cornes de gazelle. Au passage, la proportion ${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ est la fraction irréductible obtenue en divisant par le PGCD : exactement le rapport jus/gâteaux par plateau.

Étape 5 — Coût d'un plateau. Un plateau coûte $2\times 4+3\times 3=8+9=17$ dh. Pour vérifier la cohérence, le coût total des 42 plateaux est $42\times 17=714$ dh, soit aussi $84\times 4+126\times 3=336+378=714$ dh. Les deux calculs concordent.

Conclusion. En une seule notion, le PGCD, Yasmine a résolu un problème de répartition équitable qui, traité « à la main », l'aurait obligée à lister tous les diviseurs des deux nombres. Cette logique de diviseurs communs est partout : logistique, découpage de grilles, réduction de fractions. Tu la retrouveras formalisée en spécialité maths, puis en prépa avec l'identité de Bézout et l'algorithme d'Euclide, qui calculent le PGCD sans même décomposer les nombres.

À retenir