Arithmétique et ensembles de nombres — exercices corrigés

L'écriture $a=b\times k$ dit que $b$ (le facteur) divise $a$ (le produit). Ici $42=7\times 6$ : $7$ et $6$ divisent tous deux $42$, et $42$ est leur multiple commun. La bonne réponse est donc B.

Si tu as répondu A, tu as inversé diviseur et multiple : le diviseur est toujours plus petit ou égal au nombre qu'il divise, jamais l'inverse. Mémo : dans $a=b\times k$, c'est le facteur qui divise le produit. Cette rigueur de vocabulaire est le socle de toute l'arithmétique que tu pousseras jusqu'à Bézout en spé maths.

$56=8\times 7$ : il existe bien un entier $k=7$ tel que $56=8\times k$, donc $8$ divise $56$ et $56$ est un multiple de $8$. L'affirmation est vraie.

Le réflexe : pour décider « multiple de $8$ », cherche l'entier qui multiplie. $8\times 6=48$, $8\times 7=56$ : on tombe juste, sans reste. Tu reverras cette notion sous l'angle des congruences en spé maths.

On cherche le couple $(q;r)$ tel que $29=6\times q+r$ avec $0⩽r<6$. Comme $6\times 4=24$ et $6\times 5=30>29$, on prend $q=4$, puis $r=29-24=5$. On vérifie $0⩽5<6$ : le reste est bien $5$.

Si tu as trouvé $r=-1$ (en partant de $6\times 5=30$), tu as commis le piège de Karim : un reste négatif n'est pas une division euclidienne valide. Le reste doit toujours rester entre $0$ et $b-1$.

Un entier est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres l'est. Testons : $5+1+4+2=12$, divisible par $3$ : C convient. Pour A, $2+7+3+8=20$ (non) ; pour B, $4+0+2+1=7$ (non) ; pour D, $7+2+5+0=14$ (non).

Si tu as choisi D parce qu'il finit par $0$, tu as confondu le critère de $3$ avec celui de $5$ ou $10$. Mémo : pour $3$ et $9$, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier chiffre.

Un entier est pair s'il s'écrit $2k$ pour un certain entier $k$. Or $0=2\times 0$ : avec $k=0$, l'écriture est valide. Donc $0$ est pair. L'affirmation est vraie.

Beaucoup hésitent ici par habitude : « zéro, ce n'est pas vraiment un nombre comme les autres ». Si, c'est un entier pleinement légitime, et il est pair. Ce point sera utile quand tu raisonneras sur la parité d'expressions en spé maths.

$23$ est supérieur ou égal à $2$. On teste les premiers jusqu'à $\sqrt{23}\approx \mathrm{4,8}$, soit $2$ et $3$ : $23$ est impair (pas $2$), et $2+3=5$ n'est pas divisible par $3$. Aucun diviseur trouvé : $23$ n'a que $1$ et lui-même comme diviseurs, il est premier. Vrai.

Mémo : pour conclure sur la primalité, inutile de tester au-delà de $\sqrt{n}$. C'est une économie décisive pour les grands nombres.

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Or $1$ n'a qu'un seul diviseur, lui-même. Il ne remplit pas la condition, donc il n'est pas premier. La bonne réponse est B.

Si tu as choisi A, sache qu'être impair n'a rien à voir : $9$ est impair et non premier, $2$ est pair et premier. L'exclusion de $1$ n'est pas arbitraire : elle garantit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

On divise par les premiers successifs : $60=2\times 30=2^2\times 15=2^2\times 3\times 5$. Vérification : $4\times 3\times 5=60$. La bonne réponse est A.

Les options B et C donnent bien $60$, mais $30$, $4$ et $15$ ne sont pas premiers : ce ne sont pas des décompositions complètes. L'option D vaut $2\times 3\times 25=150\mathrm{\ne }60$. Mémo : une décomposition n'est terminée que lorsque tous les facteurs sont premiers.

Les diviseurs communs de $12$ et $18$ sont $1$, $2$, $3$ et $6$. Le plus grand est $6$, donc $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(12;18)=6$. On le retrouve par décomposition : $12=2^2\times 3$ et $18=2\times 3^2$, facteurs communs $2$ et $3$ à la plus petite puissance, soit $2\times 3=6$.

Si tu as répondu $36$, tu as calculé un multiple commun (le PPCM), pas un diviseur commun. Le PGCD est un diviseur : il est toujours plus petit ou égal au plus petit des deux nombres.

On cherche $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(6;9)$. Comme $6=2\times 3$ et $9=3^2$, leur seul facteur commun est $3$, donc le PGCD vaut $3$. On divise alors numérateur et dénominateur par $3$ : ${\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{6÷3}{9÷3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$ Et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est irréductible car $2$ et $3$ sont premiers entre eux. Mémo : diviser par le PGCD rend la fraction irréductible en une seule étape.

$\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels $0,1,2,3,\dots$ : ils sont tous positifs ou nuls. Or $(-3)$ est négatif, il n'appartient donc pas à $\mathbb{N}$. L'affirmation est fausse. En revanche $(-3)\in \mathbb{Z}$ : c'est une température que Karim pourrait relever un matin d'hiver à Ifrane.

Mémo : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, et c'est en passant à $\mathbb{Z}$ qu'on gagne les nombres négatifs.

$\mathrm{2,5}$ a une écriture décimale finie, c'est donc un décimal : $\mathrm{2,5}\in \mathbb{D}$. Il n'est ni entier naturel ni entier relatif (il n'est pas entier). La plus petite « boîte » qui le contient parmi celles proposées est $\mathbb{D}$. La bonne réponse est C.

L'option D est absurde : tout décimal est rationnel, $\mathrm{2,5}={\displaystyle \frac{5}{2}}\in \mathbb{Q}$. Mémo : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.

Un entier est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$. Ici $4025$ se termine par $5$ : il est divisible par $5$. Vrai. En revanche il est impair, donc pas divisible par $2$, donc pas par $10$.

Mémo : le critère de $5$ et celui de $10$ se lisent tous deux sur le dernier chiffre, mais $10$ exige un $0$, là où $5$ accepte aussi un $5$.

On cherche $(q;r)$ tel que $50=7\times q+r$ avec $0⩽r<7$. Comme $7\times 7=49$ et $7\times 8=56>50$, le quotient est $q=7$, et le reste $r=50-49=1$. On vérifie $0⩽1<7$.

Attention à ne pas confondre quotient et reste : le quotient $q=7$ est le nombre de fois où $7$ « tient » dans $50$ ; le reste $r=1$ est ce qu'il reste après. Ici les deux valent presque la même chose par coïncidence, lis bien la question.

Pour tout entier $a$, on a $a=1\times a$ : il existe donc un entier $k=a$ tel que $a=1\times k$. Par définition, $1$ divise $a$. C'est vrai pour tous les entiers. Vrai.

Mémo : $1$ est diviseur universel, et tout entier non nul se divise lui-même ($a=a\times 1$). Ce sont les deux diviseurs « gratuits » de n'importe quel nombre — ceux que possède un nombre premier, et lui seul.

$2$ est premier : ses seuls diviseurs sont $1$ et $2$. Tout autre nombre pair $n$ possède $2$ comme diviseur en plus de $1$ et de lui-même, donc au moins trois diviseurs : il ne peut pas être premier. $2$ est donc le seul premier pair. La bonne réponse est C.

Si tu as choisi D, tu as oublié $2$ lui-même. Mémo : $2$ est à part, c'est le seul premier pair ; tous les autres premiers sont impairs.

$10=2\times 5$ et $15=3\times 5$ : leur seul facteur commun est $5$, donc $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(10;15)=5$. On divise par $5$ : ${\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{10÷5}{15÷5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ est irréductible. Mémo : si tu avais divisé par $2$ seulement, tu aurais obtenu ${\displaystyle \frac{5}{\mathrm{7,5}}}$, ce qui n'a aucun sens — on ne divise que par un diviseur commun entier.

Un entier est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres l'est. Ici $2+7+3+6=18$, et $18$ est divisible par $9$. Donc $2736$ est divisible par $9$. Vrai. Comme $18$ est aussi divisible par $3$, le nombre l'est également par $3$.

Mémo : le critère de $9$ est le même que celui de $3$, mais avec une somme divisible par $9$. Si la somme est divisible par $3$ sans l'être par $9$, le nombre n'est divisible que par $3$.

$\mathbb{Z}$, l'ensemble des entiers relatifs, contient les entiers naturels et leurs opposés. La bonne réponse est B.

Si tu as choisi A, rappelle-toi que $\mathbb{N}$ s'arrête aux positifs et au $0$. Si tu as choisi D, $\mathbb{Q}$ contient bien plus que les entiers : toutes les fractions. Mémo : la lettre $\mathbb{Z}$ vient de l'allemand Zahlen (« nombres »).

Une décomposition en facteurs premiers ne contient que des nombres premiers, et jamais le facteur $1$. Seul $2^2\times 3$ respecte ces règles. La bonne réponse est B.

L'option A glisse un $1$ inutile : interdit, car $1$ n'est pas premier et casserait l'unicité. C ($4$ non premier) et D ($6$ non premier) sont incomplètes. Mémo : on s'arrête uniquement quand tous les facteurs sont premiers, sans jamais écrire de $1$.