Variables aléatoires réelles

La loi de probabilité d'une variable aléatoire

Tout part d'une expérience aléatoire dont l'univers est connu — un lancer de dé, un tirage dans une urne, une partie au stand de Yasmine. L'idée neuve est de ne plus s'intéresser directement à l'issue, mais à un nombre qu'on lui associe. Ce nombre peut être un gain, un nombre de succès, un score : ce qui compte, c'est qu'à chaque issue corresponde une valeur réelle.

Le mot « variable » est un peu trompeur : $X$ n'est pas une inconnue à résoudre, c'est bien une fonction définie sur l'univers. Ce qui « varie », c'est la valeur qu'elle renvoie selon l'issue tirée au hasard.

Exemple 1. On lance un dé équilibré et on note $X$ le résultat affiché. Alors $X$ prend les valeurs $1;2;3;4;5;6$, chacune correspondant à une face. C'est l'exemple le plus simple : ici la variable aléatoire coïncide avec l'issue elle-même.

Exemple 2. On lance deux fois une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de « Pile » obtenus. L'univers est $\mathrm{\Omega }=\{(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)\}$, quatre issues équiprobables. La variable $X$ prend les valeurs $0$ (pour $(F;F)$), $1$ (pour $(P;F)$ et $(F;P)$) et $2$ (pour $(P;P)$). Une même valeur de $X$, ici $1$, peut donc regrouper plusieurs issues.

L'événement $(X=x_i)$ et la loi de probabilité

À chaque valeur $x_i$ correspond un événement : « la variable $X$ prend la valeur $x_i$ ». On le note $(X=x_i)$. Donner la loi de $X$, c'est calculer la probabilité de chacun de ces événements.

Comme la variable prend forcément l'une de ses valeurs à chaque expérience, les événements $(X=x_1),(X=x_2),\dots ,(X=x_n)$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles deux à deux et leur réunion est $\mathrm{\Omega }$. Il en découle une vérification incontournable.

Exemple 3. Reprenons le lancer de deux pièces avec $X$ le nombre de « Pile ». Sur les $4$ issues équiprobables : $(X=0)$ correspond à $1$ issue, $(X=1)$ à $2$ issues, $(X=2)$ à $1$ issue. La loi de $X$ est donc :

On vérifie : ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=1$. La loi est cohérente.

Le piège de la confusion entre valeur et probabilité

L'erreur la plus fréquente au début est de mélanger les deux lignes du tableau : confondre la valeur $x_i$ que prend la variable et la probabilité $P(X=x_i)$ que cette valeur sorte. Salma, devant le dé de l'Exemple 1, écrit « $P(X=3)=3$ ». Impossible : une probabilité ne dépasse jamais $1$. La bonne réponse est $P(X=3)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ — la valeur $3$ est ce que prend $X$, sa probabilité est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$. Garde en tête que la ligne du haut peut contenir n'importe quels réels (des gains négatifs, des grands nombres), mais la ligne du bas ne contient que des nombres entre $0$ et $1$ qui somment à $1$.

L'espérance

Une fois la loi connue, on peut répondre à la question de Yasmine : quel gain moyen attendre par partie sur le long terme ? Ce gain moyen théorique porte un nom : l'espérance. C'est la moyenne des valeurs de $X$, mais une moyenne pondérée par les probabilités — car les valeurs très probables doivent peser plus lourd que les valeurs rares.

L'espérance n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre : un dé a une espérance de $\mathrm{3,5}$, qui n'est aucune de ses faces. C'est une valeur théorique, celle vers laquelle se stabilise la moyenne des résultats observés quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois. C'est exactement le pont avec la loi des grands nombres que tu as vue en Seconde.

Exemple 1. On lance un dé équilibré et $X$ est le résultat. Chaque valeur a probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, donc $E(X)=1\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+2\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+4\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+5\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+6\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}}={\displaystyle \frac{21}{6}}=\mathrm{3,5.}$ Sur des milliers de lancers, la moyenne des faces obtenues sera très proche de $\mathrm{3,5}$.

Interprétation comme gain moyen

Quand $X$ représente un gain en dirhams, $E(X)$ se lit directement comme le gain moyen par partie. Un $E(X)$ positif signifie que le jeu rapporte en moyenne au joueur ; un $E(X)$ négatif, qu'il perd en moyenne (et donc que l'organisateur gagne).

Cette propriété est d'une commodité redoutable : si tu connais l'espérance d'un gain brut $X$, et qu'on applique une taxe fixe $b$ ou un facteur $a$, tu obtiens la nouvelle espérance sans tout recalculer.

Exemple 2. Au stand de Yasmine, soit $X$ le montant remporté à une partie, de loi : $P(X=20)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ (le centre), $P(X=5)={\displaystyle \frac{3}{10}}$ (la couronne), $P(X=0)={\displaystyle \frac{6}{10}}$ (le bord). Le gain remporté moyen est $E(X)=20\times {\displaystyle \frac{1}{10}}+5\times {\displaystyle \frac{3}{10}}+0\times {\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{20+15+0}{10}}={\displaystyle \frac{35}{10}}=\mathrm{3,5}\text{ dh}\mathrm{.}$ Mais le joueur paie $5$ dh pour jouer. Son gain net est $G=X-5$, et par linéarité $E(G)=E(X)-5=\mathrm{3,5}-5=-\mathrm{1,5}$ dh. En moyenne, chaque joueur perd $\mathrm{1,5}$ dh par partie — autrement dit Yasmine gagne $\mathrm{1,5}$ dh par partie. Son stand est rentable.

Le piège de la moyenne non pondérée

Le réflexe à combattre est de calculer l'espérance comme une moyenne ordinaire des valeurs, en oubliant les probabilités. Karim, sur le stand de Yasmine, propose : « les gains possibles sont $20$, $5$ et $0$, donc en moyenne ${\displaystyle \frac{20+5+0}{3}}\approx \mathrm{8,3}$ dh ». C'est faux : cela reviendrait à supposer les trois résultats équiprobables, alors que le bord (gain $0$) a une probabilité ${\displaystyle \frac{6}{10}}$ bien plus grande que le centre. L'espérance pondère chaque valeur par sa probabilité ; la moyenne arithmétique des seules valeurs ignore la fréquence d'apparition et surestime ici grossièrement le gain.

Variance et écart-type

L'espérance dit où se situe le « centre » des valeurs, mais elle ne dit rien de leur dispersion. Deux jeux peuvent avoir la même espérance et pourtant être très différents : l'un donne toujours à peu près le même gain, l'autre alterne gros gains et pertes sèches. Pour mesurer cet écartement autour de l'espérance, on introduit la variance.

On élève les écarts au carré pour deux raisons : éviter que les écarts positifs et négatifs s'annulent, et pénaliser davantage les écarts importants. La contrepartie est que la variance s'exprime dans une unité « au carré » (des dh² par exemple), ce qui n'a pas de sens concret — d'où l'écart-type qui suivra.

Cette seconde formule est presque toujours plus rapide en pratique : on calcule $E(X^2)$ (la moyenne pondérée des carrés des valeurs), puis on retranche le carré de l'espérance. Pas besoin de manipuler chaque écart un à un.

Exemple 1. On lance un dé équilibré, $X$ est le résultat, et on sait que $E(X)=\mathrm{3,5}$. Calculons $E(X^2)$ : $E(X^2)={\displaystyle \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}}={\displaystyle \frac{1+4+9+16+25+36}{6}}={\displaystyle \frac{91}{6}}\approx \mathrm{15,17.}$ Donc par König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2={\displaystyle \frac{91}{6}}-{\mathrm{3,5}}^2={\displaystyle \frac{91}{6}}-\mathrm{12,25}\approx \mathrm{2,92.}$

L'écart-type, une dispersion à la bonne échelle

Pour retrouver une grandeur exprimée dans la même unité que $X$, on prend la racine carrée de la variance.

L'écart-type mesure, dans la même unité que $X$, à quelle distance typique de l'espérance se trouvent les valeurs. Un petit écart-type signifie des valeurs resserrées autour de $E(X)$ ; un grand écart-type, des valeurs très dispersées — un jeu plus risqué.

Exemple 2. Pour le dé, $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\approx \sqrt{\mathrm{2,92}}\approx \mathrm{1,71}$. Les faces du dé s'écartent donc « typiquement » de $\mathrm{1,71}$ autour de la moyenne $\mathrm{3,5}$, ce qui est cohérent : les valeurs vont de $1$ à $6$, soit au plus $\mathrm{2,5}$ de l'espérance.

Le piège de l'écart-type oublié ou de la variance négative

Deux erreurs guettent ici. La première : confondre variance et écart-type, et donner $V(X)$ là où l'on demande $\sigma (X)$ (ou l'inverse) — pense toujours à l'unité, l'écart-type est dans l'unité de $X$, la variance dans son carré. La seconde, plus grave : obtenir une variance négative. Si ton calcul de König-Huygens donne $V(X)<0$, c'est une erreur certaine, car une somme de carrés pondérés par des probabilités positives ne peut jamais être négative. Salma trouve $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\mathrm{12,25}-\mathrm{15,17}=-\mathrm{2,92}$ : elle a inversé les deux termes. La formule retranche bien le carré de l'espérance à l'espérance des carrés, et $E(X^2)\ge (E(X){)}^2$ toujours.

Simuler et appliquer (jeux équitables, échantillonnage)

Les outils sont en place. On les met maintenant au service de deux usages majeurs : décider si un jeu est équitable, et estimer une espérance par simulation quand le calcul direct est lourd. C'est le prolongement direct de l'échantillonnage et de la loi des grands nombres vus en Seconde.

Un jeu équitable n'a rien d'un jeu sans risque : il peut avoir un très grand écart-type. « Équitable » porte uniquement sur la moyenne à long terme, pas sur la dispersion partie par partie.

Exemple 1. Amine propose à Karim : « tu mises $m$ dh ; on lance un dé ; si tu fais $6$ je te donne $30$ dh, sinon tu perds ta mise. » Pour quelle mise $m$ le jeu est-il équitable ? Le gain net $G$ vaut $30-m$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, et $-m$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{5}{6}}$. Donc $E(G)=(30-m)\times {\displaystyle \frac{1}{6}}+(-m)\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{30-m-5m}{6}}={\displaystyle \frac{30-6m}{6}}=5-m\mathrm{.}$ Le jeu est équitable quand $E(G)=0$, soit $5-m=0$, donc $m=5$ dh. Pour une mise supérieure à $5$ dh, le jeu devient défavorable à Karim.

Estimer une espérance par simulation

Quand la loi est compliquée à établir, on peut estimer l'espérance en simulant l'expérience un grand nombre de fois et en calculant la moyenne des valeurs obtenues. Par la loi des grands nombres, cette moyenne se rapproche de $E(X)$ quand le nombre de répétitions grandit.

import random

n = 100000          # nombre de parties simulées
total = 0           # somme des gains remportés

for _ in range(n):
    de = random.randint(1, 6)   # lancer du dé : entier de 1 à 6
    if de == 6:
        gain = 30               # on gagne 30 dh sur un 6
    else:
        gain = 0                # rien sinon
    total += gain

esperance_estimee = total / n   # moyenne des gains remportés
print(esperance_estimee)        # proche de 5 (= 30 / 6)

Le programme simule $100000$ parties et affiche la moyenne du gain remporté, qui se stabilise autour de $E(X)=30\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=5$ dh. Relancé, il donne une valeur légèrement différente : la fluctuation d'échantillonnage est toujours là, mais resserrée par la grande taille de $n$.

Exemple 2. En lançant ce programme trois fois, on peut lire $\mathrm{5,012}$, puis $\mathrm{4,987}$, puis $\mathrm{5,003}$. Trois estimations distinctes, toutes très proches de la valeur théorique $5$. C'est la signature de la loi des grands nombres appliquée à l'espérance : la moyenne empirique converge vers l'espérance.

Le piège du jeu « équitable » jugé sur une seule partie

L'erreur classique est de conclure sur l'équité (ou l'inéquité) d'un jeu à partir de quelques parties. Karim joue trois fois au jeu équitable d'Amine, perd les trois fois, et déclare : « ce jeu est truqué, il est défavorable. » Faux. Un jeu équitable a une espérance nulle à long terme, mais sur trois parties la fluctuation domine totalement : perdre trois fois de suite est parfaitement compatible avec $E(G)=0$. L'espérance ne se lit jamais sur un petit échantillon ; elle ne se vérifie que sur un grand nombre de répétitions, là où la moyenne observée a eu le temps de se stabiliser autour de $E(G)$.

Pièges classiques

Piège 1 : confondre la valeur $x_i$ et la probabilité $P(X=x_i)$. La ligne du haut du tableau de loi contient les valeurs prises par $X$ (qui peuvent être négatives, grandes, décimales) ; la ligne du bas contient les probabilités, toujours comprises entre $0$ et $1$ et de somme $1$. Écrire « $P(X=3)=3$ » n'a aucun sens. Vérifie systématiquement que la somme de tes probabilités fait $1$.

Piège 2 : calculer l'espérance comme une moyenne non pondérée. $E(X)$ n'est pas ${\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$ sauf si toutes les valeurs sont équiprobables. La formule correcte pondère chaque valeur par sa probabilité : $E(X)=\sum x_i{p}_i$. Oublier les $p_i$ revient à supposer une équiprobabilité qui n'existe le plus souvent pas.

Piège 3 : oublier la mise dans le calcul du gain net. Au stand ou au jeu d'argent, $X$ est souvent le montant remporté, mais ce qui compte pour le joueur est le gain net $G=X-\text{mise}$. Confondre les deux fausse toute conclusion sur l'équité. Par linéarité, $E(G)=E(X)-\text{mise}$.

Piège 4 : inverser les termes de König-Huygens et trouver une variance négative. La formule est $V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$ : espérance des carrés moins carré de l'espérance, dans cet ordre. Comme $E(X^2)\ge (E(X){)}^2$ toujours, une variance ne peut jamais être négative. Si tu trouves $V(X)<0$, tu as inversé les deux termes ou commis une erreur de calcul.

Piège 5 : confondre variance et écart-type. $V(X)$ s'exprime dans le carré de l'unité de $X$ ; $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$. Quand on te demande une dispersion « en dirhams » ou « en points », c'est l'écart-type, pas la variance. Garde le réflexe de la racine carrée finale.

Piège 6 : juger une espérance ou l'équité d'un jeu sur peu de répétitions. L'espérance est une moyenne théorique sur un grand nombre de parties. Gagner ou perdre quelques fois de suite ne dit rien : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Un jeu équitable ($E(G)=0$) peut faire perdre dix fois d'affilée. Seul un grand nombre de répétitions fait apparaître l'espérance dans la moyenne observée.

Application concrète

Yasmine veut décider du tarif de son stand de fléchettes à la kermesse de Marrakech pour qu'il soit rentable sans décourager les joueurs. La cible a trois zones : le centre rapporte $50$ dh, la couronne $10$ dh, le bord rien. D'après ses essais, un joueur atteint le centre avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{20}}$, la couronne avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, et le bord le reste du temps. Elle mobilise tout le chapitre pour fixer le prix de la partie.

Étape 1 — Définir la variable et sa loi. Soit $X$ le montant remporté à une partie. Les valeurs sont $50$, $10$ et $0$. La probabilité du bord est le contraire des deux autres : $P(X=0)=1-{\displaystyle \frac{1}{20}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}=1-{\displaystyle \frac{1}{20}}-{\displaystyle \frac{5}{20}}=1-{\displaystyle \frac{6}{20}}={\displaystyle \frac{14}{20}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$. La loi de $X$ est donc $P(X=50)={\displaystyle \frac{1}{20}}$, $P(X=10)={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{20}}$, $P(X=0)={\displaystyle \frac{14}{20}}$. On vérifie : ${\displaystyle \frac{1}{20}}+{\displaystyle \frac{5}{20}}+{\displaystyle \frac{14}{20}}={\displaystyle \frac{20}{20}}=1$.

Étape 2 — Calculer l'espérance du gain remporté. $E(X)=50\times {\displaystyle \frac{1}{20}}+10\times {\displaystyle \frac{5}{20}}+0\times {\displaystyle \frac{14}{20}}={\displaystyle \frac{50+50+0}{20}}={\displaystyle \frac{100}{20}}=5\text{ dh}\mathrm{.}$ En moyenne, le stand reverse $5$ dh de gains par partie.

Étape 3 — Fixer un prix rentable. Si Yasmine fait payer $m$ dh la partie, le gain net du joueur est $G=X-m$, d'espérance $E(G)=E(X)-m=5-m$. Pour que le stand gagne en moyenne, il faut $E(G)<0$, c'est-à-dire $m>5$ dh. À exactement $m=5$ dh, le jeu serait équitable et le stand ne gagnerait rien en moyenne. Yasmine choisit $m=7$ dh : alors $E(G)=5-7=-2$ dh, donc le stand gagne en moyenne $2$ dh par partie.

Étape 4 — Mesurer le risque avec l'écart-type. Yasmine veut savoir si les gains sont réguliers ou très variables. Elle calcule $E(X^2)={50}^2\times {\displaystyle \frac{1}{20}}+{10}^2\times {\displaystyle \frac{5}{20}}+0={\displaystyle \frac{2500+500}{20}}={\displaystyle \frac{3000}{20}}=150$. Donc $V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=150-5^2=150-25=125$, et $\sigma (X)=\sqrt{125}\approx \mathrm{11,2}$ dh. L'écart-type est grand devant l'espérance : les gains sont très irréguliers d'une partie à l'autre, parce qu'un centre à $50$ dh est rare mais spectaculaire.

Étape 5 — Anticiper sur un grand nombre de parties. Si $300$ élèves jouent dans la journée, le stand encaisse $300\times 7=2100$ dh de mises et reverse en moyenne $300\times 5=1500$ dh de gains. Bénéfice moyen attendu : $300\times 2=600$ dh. La forte dispersion partie par partie n'inquiète pas Yasmine : sur $300$ parties, la loi des grands nombres assure que le bénéfice réel sera proche de cette moyenne.

Conclusion. En définissant proprement la variable, sa loi, son espérance et son écart-type, Yasmine est passée d'une intuition floue à une décision chiffrée : tarif à $7$ dh, bénéfice moyen de $600$ dh sur la journée, risque maîtrisé par le grand nombre de joueurs. Cette démarche — modéliser un aléa par une variable aléatoire, en calculer espérance et dispersion, puis raisonner sur le long terme — est le cœur des probabilités quantitatives. Tu la retrouveras en Terminale avec la loi binomiale (où $X$ compte des succès et où $E(X)$ et $V(X)$ ont des formules dédiées), puis en classes préparatoires avec les variables continues et les théorèmes limites.

À retenir