Variables aléatoires réelles — exercices corrigés

Une variable aléatoire réelle $X$ définie sur un univers $\mathrm{\Omega }$ est, par définition :

On lance un dé équilibré à six faces et on note $X$ le résultat affiché. Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

On lance un dé équilibré à six faces et $X$ note le résultat. Quelle est la probabilité $P(X=4)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Pour une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1;x_2;\dots ;x_n$, combien vaut la somme $P(X=x_1)+P(X=x_2)+\cdots +P(X=x_n)$ ?

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $3$ avec $P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Quelle est la probabilité $P(X=3)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire prenant les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ est donnée par :

Une variable aléatoire $X$ prend la valeur $0$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et la valeur $3$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Calcule $E(X)$.

On lance un dé équilibré à six faces et $X$ note le résultat. On donne $1+2+3+4+5+6=21$. Calcule $E(X)$.

Une variable aléatoire $X$ prend la valeur $1$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et la valeur $2$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Calcule $E(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?

L'écart-type $\sigma (X)$ d'une variable aléatoire se calcule à partir de la variance $V(X)$ par :

La variance d'une variable aléatoire $X$ vaut $V(X)=9$. Quel est son écart-type $\sigma (X)$ ?

La formule de König-Huygens pour calculer la variance s'écrit :

La variance d'une variable aléatoire peut être un nombre négatif.

Une variable aléatoire $X$ prend la valeur $1$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et la valeur $3$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Calcule $E(X^2)$.

Un jeu d'argent est dit équitable lorsque :

On sait que $E(X)=4$. En utilisant la linéarité de l'espérance, calcule $E(2X-1)$.

On propose la loi suivante pour une variable $X$ : $P(X=1)=\mathrm{0,3}$, $P(X=2)=\mathrm{0,5}$ et $P(X=3)=\mathrm{0,3}$. Cette loi de probabilité est valide.

Pour une variable aléatoire $X$, il est possible d'avoir $P(X=3)=\mathrm{1,2}$.

À un jeu de la kermesse de Fès, Amine remporte en moyenne $E(X)=3$ dh par partie, mais paie une mise de $5$ dh pour jouer. Quel est son gain net moyen $E(G)$, où $G=X-5$ ?

On lance deux fois une pièce équilibrée et $X$ note le nombre de « Pile » obtenus. Quelle est la probabilité $P(X=1)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Au stand de fléchettes de Yasmine, le montant remporté $X$ suit la loi : $P(X=20)={\displaystyle \frac{1}{10}}$, $P(X=5)={\displaystyle \frac{3}{10}}$, $P(X=0)={\displaystyle \frac{6}{10}}$. Calcule le gain remporté moyen $E(X)$.

Une variable $X$ prend les valeurs $0$, $5$ et $20$. Karim affirme : « l'espérance vaut ${\displaystyle \frac{0+5+20}{3}}\approx \mathrm{8,3}$. » Karim a-t-il raison ?

Une variable $X$ prend la valeur $0$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et la valeur $3$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sachant que $E(X)=\mathrm{1,5}$, calcule la variance $V(X)$.

Une variable $X$ prend les valeurs $-1$, $0$, $1$ et $2$ avec $P(X=-1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $P(X=0)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Quelle est $P(X=2)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $6$ billes : $3$ marquées « $1$ », $2$ marquées « $2$ » et $1$ marquée « $3$ ». On tire une bille au hasard et $X$ note le numéro lu. Calcule $E(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

À une tombola du souk de Marrakech, $X$ note le lot gagné : $P(X=100)=\mathrm{0,02}$, $P(X=20)=\mathrm{0,3}$, $P(X=0)=\mathrm{0,68}$. Calcule le lot moyen $E(X)$ gagné par billet.

Une variable $X$ prend la valeur $0$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et la valeur $3$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sa variance vaut $V(X)=\mathrm{2,25}$. Calcule l'écart-type $\sigma (X)$.

Pour une variable $X$, Salma a calculé $E(X^2)=\mathrm{15,17}$ et $(E(X){)}^2=\mathrm{12,25}$, puis écrit $V(X)=\mathrm{12,25}-\mathrm{15,17}=-\mathrm{2,92}$. Quelle est son erreur ?

Au stand de Yasmine, le montant remporté $X$ a pour espérance $E(X)=\mathrm{3,5}$ dh. Le joueur paie $5$ dh la partie, donc son gain net est $G=X-5$. Calcule $E(G)$.

On sait que $E(X)=5$. En utilisant la linéarité de l'espérance, calcule $E(3X-1)$.

On lance un dé équilibré et $X$ note le résultat. Salma écrit $P(X=5)=5$. Cette affirmation est correcte.

Amine propose : « on lance un dé équilibré ; si tu fais $6$, je te donne $30$ dh, sinon tu perds ta mise $m$. » Pour quelle mise $m$ (en dh) le jeu est-il équitable ?

On simule $100000$ parties d'un jeu où $X$ est le gain, et on calcule la moyenne des gains obtenus. Vers quelle valeur cette moyenne se stabilise-t-elle ?

À un jeu, la probabilité de gagner est ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Amine joue $100$ parties indépendantes. Combien de fois peut-il espérer gagner, environ ?

Un dé truqué donne le $6$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, et chacune des faces $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{10}}$. Soit $X$ le résultat. Calcule $E(X)$.

Une variable $X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $3$, chacune avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. On donne $E(X)=2$. Calcule la variance $V(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Karim joue $3$ fois à un jeu équitable ($E(G)=0$), perd les trois fois, et conclut : « ce jeu est défavorable. » Sa conclusion est valable.

Une urne contient $2$ boules rouges et $2$ boules vertes. On en tire deux successivement sans remise, et $X$ note le nombre de boules rouges tirées. Quelle est la probabilité $P(X=2)$ (tirer deux rouges) ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine organise une mini-tombola à la kermesse de Casablanca. Le billet coûte $10$ dh. Le montant remporté $X$ suit la loi : $P(X=50)=\mathrm{0,1}$, $P(X=10)=\mathrm{0,2}$, $P(X=0)=\mathrm{0,7}$.

1. Calcule le gain remporté moyen $E(X)$.
2. Le billet coûte $10$ dh. Calcule le gain net moyen du joueur $E(G)$ où $G=X-10$.
3. La tombola est-elle favorable ou défavorable au joueur ? Justifie.

À la kermesse de son lycée à Marrakech, Amine tient un stand de roue de la fortune : la partie coûte $4$ dh. Il calcule l'espérance du montant remporté $X$ et trouve $E(X)=4$ dh. Il en conclut : « Comme $E(X)=4$ dh et que la mise est de $4$ dh, mon stand est équitable, je ne gagne rien en moyenne. » Le raisonnement d'Amine est-il correct ?

On lance deux dés équilibrés et $X$ note la somme des deux faces. L'univers compte $36$ couples équiprobables. Quelle est la probabilité $P(X=7)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance deux dés équilibrés et $X$ note la somme des deux faces. Calcule $E(X)$.

Au stand de Yasmine à Marrakech, le montant remporté $X$ suit la loi : $P(X=50)={\displaystyle \frac{1}{20}}$, $P(X=10)={\displaystyle \frac{5}{20}}$, $P(X=0)={\displaystyle \frac{14}{20}}$. On donne $E(X)=5$ dh. Calcule la variance $V(X)$.

Au stand de Yasmine, le montant remporté $X$ a pour variance $V(X)=125$ (en dh²). Calcule l'écart-type $\sigma (X)$, arrondi au dixième.

À la kermesse de Rabat, Amine tient un stand : on tire une carte dans un jeu de $32$ cartes ; tirer un roi rapporte $40$ dh, tirer une autre figure (dame ou valet) rapporte $10$ dh, le reste ne rapporte rien. Il y a $4$ rois, $4$ dames et $4$ valets dans le jeu.

1. Donne la loi de probabilité du montant remporté $X$.
2. Calcule $E(X)$.
3. Pour quel prix du billet $m$ le jeu serait-il équitable ?

Une variable $X$ suit la loi $P(X=0)=\mathrm{0,8}$, $P(X=10)=\mathrm{0,2}$. Karim calcule l'espérance en faisant ${\displaystyle \frac{0+10}{2}}=5$. Quelle est la bonne valeur de $E(X)$, et quelle erreur Karim a-t-il commise ?

Une variable $X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $4$ avec $P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $P(X=4)={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Calcule $E(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Deux jeux ont la même espérance de gain $E(X)=10$ dh. Le jeu A a un écart-type ${\sigma }_A=2$ dh, le jeu B un écart-type ${\sigma }_B=30$ dh. Que peut-on dire ?

On lance un dé équilibré et $X$ note le résultat. On sait que $E(X)={\displaystyle \frac{7}{2}}$ et $E(X^2)={\displaystyle \frac{91}{6}}$. Calcule la variance $V(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine fixe le tarif de son stand de fléchettes à la kermesse de Marrakech. La cible donne $50$ dh au centre (probabilité ${\displaystyle \frac{1}{20}}$), $10$ dh à la couronne (probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$), rien au bord.

1. Donne la loi de probabilité du montant remporté $X$.
2. Calcule $E(X)$.
3. Yasmine fait payer $7$ dh la partie. Calcule le gain net moyen du joueur $E(G)$, et dis qui gagne en moyenne.
4. Si $300$ élèves jouent dans la journée, quel bénéfice moyen Yasmine peut-elle espérer ?

Une variable $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$. On sait que $P(X=0)=P(X=2)$ et que $P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Quelle est $P(X=0)$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On exécute le programme Python suivant :

import random
n = 100000
total = 0
for _ in range(n):
    de = random.randint(1, 6)
    if de == 6:
        gain = 30
    else:
        gain = 0
    total += gain
print(total / n)

Vers quelle valeur le programme affiche-t-il son résultat ?

Karim simule un jeu d'espérance $E(X)=5$ dh, mais avec seulement n = 5 parties, et obtient une moyenne de $14$ dh. Il en conclut : « la vraie espérance doit être proche de $14$ dh. » Sa conclusion est valable.

Une loterie vend des billets à $5$ dh. Le montant remporté $X$ suit la loi : $P(X=100)=\mathrm{0,01}$, $P(X=20)=\mathrm{0,1}$, $P(X=5)=\mathrm{0,2}$, $P(X=0)=\mathrm{0,69}$. Calcule le gain net moyen $E(G)$ du joueur, où $G=X-5$.

On demande l'écart-type d'un gain $X$, exprimé en dirhams. Salma calcule correctement $V(X)=16$ (en dh²) et répond « $\sigma (X)=16$ dh ». Quelle est son erreur, et quelle est la bonne réponse ?

Une variable $X$ a pour espérance $E(X)=\mathrm{3,5}$. On définit $Y=2X+\mathrm{2,5}$. Calcule $E(Y)$.

On lance deux dés équilibrés et $X$ note le nombre de $6$ obtenus (donc $0$, $1$ ou $2$). Quelle est la probabilité $P(X\ge 1)$ d'obtenir au moins un $6$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance deux dés équilibrés et $X$ note le nombre de $6$ obtenus. Sa loi est $P(X=0)={\displaystyle \frac{25}{36}}$, $P(X=1)={\displaystyle \frac{10}{36}}$, $P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{36}}$. Calcule $E(X)$ et donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine hésite entre deux jeux pour son stand à Casablanca, tous deux à $10$ dh la partie.

• Jeu A : montant remporté $X_A$ avec $P(X_A=12)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P(X_A=6)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• Jeu B : montant remporté $X_B$ avec $P(X_B=50)={\displaystyle \frac{1}{10}}$, $P(X_B=4)={\displaystyle \frac{9}{10}}$.

1. Calcule $E(X_A)$ et $E(X_B)$.
2. Pour chaque jeu, calcule le gain net moyen du joueur. Lequel est défavorable au joueur (donc rentable pour Yasmine) ?
3. On donne $\sigma (X_A)=3$ dh et $\sigma (X_B)\approx \mathrm{13,8}$ dh. Lequel des deux jeux offre au joueur des gains plus réguliers ? Lequel choisirais-tu pour attirer les joueurs en quête de sensations ?

À une roue de la fortune au souk de Fès, le montant remporté $X$ suit la loi : $P(X=15)=\mathrm{0,1}$, $P(X=5)=\mathrm{0,1}$, $P(X=2)=\mathrm{0,15}$, $P(X=0)=\mathrm{0,65}$. Calcule le gain remporté moyen $E(X)$.