Décrire un mouvement

Système et référentiel

Avant de dire qu'un objet « bouge », il faut répondre à une question que la vie courante escamote presque toujours : par rapport à quoi ? Le sac de Yasmine est immobile par rapport à elle, mais en mouvement par rapport à Amine resté sur le quai. Décrire un mouvement exige donc deux décisions préalables : choisir l'objet qu'on étudie, et choisir l'observateur par rapport auquel on l'observe.

Choisir le système, c'est répondre à « qu'est-ce qui bouge ? » ; choisir le référentiel, c'est répondre à « bouge par rapport à quoi ? ». Sans ces deux choix, la phrase « la voiture roule » n'a pas de sens physique complet.

Exemple 1. Pour étudier le trajet du train Al Boraq entre Casablanca et Tanger, le système est le train (ou un point du train), et le référentiel naturel est le sol : on l'appelle le référentiel terrestre. Par rapport à ce référentiel, le train se déplace à grande vitesse.

Exemple 2. Un voyageur assis dans ce même train Al Boraq pose une bouteille d'eau sur sa tablette. Si le système est la bouteille et le référentiel le wagon, la bouteille est immobile. Si le référentiel devient le sol, la même bouteille file à plus de $300\text{ km/h}$.

Le référentiel terrestre, le choix par défaut

En seconde, sauf indication contraire, on travaille dans le référentiel terrestre : un référentiel lié au sol, à la route, aux bâtiments. C'est lui qui correspond à l'observateur immobile sur Terre, celui qui décrit le mouvement « tel qu'on le voit de l'extérieur ». Quand un énoncé dit « la voiture roule sur l'autoroute Rabat-Casablanca à $120\text{ km/h}$ » sans préciser, c'est ce référentiel terrestre qui est sous-entendu.

Le piège de la relativité du mouvement

Le cœur de cette leçon tient en une formule : le mouvement est relatif au référentiel choisi. Un même objet peut être à la fois immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre, sans la moindre contradiction. Karim affirme : « Le sac de Yasmine est posé, donc il est immobile, un point c'est tout. » Il a tort de croire que l'immobilité est absolue. Le sac est immobile dans le référentiel du tramway, mais en mouvement dans le référentiel terrestre. Aucune des deux descriptions n'est « la vraie » : elles sont toutes deux correctes, chacune dans son référentiel. Dire qu'un objet bouge sans préciser le référentiel, c'est comme dire qu'un nombre est « grand » sans dire par rapport à quoi.

La trajectoire

Une fois le système et le référentiel fixés, on peut suivre l'objet dans le temps : où était-il il y a une seconde, où est-il maintenant, où sera-t-il ensuite ? L'ensemble de ces positions dessine un chemin dans l'espace, et ce chemin a un nom.

On obtient une trajectoire en marquant la position du point à intervalles de temps réguliers (un point toutes les secondes, par exemple) puis en reliant ces points. Plus les positions relevées sont rapprochées, plus la trajectoire est fidèle.

Exemple 1. Une voiture qui roule en ligne droite sur l'autoroute Rabat-Casablanca décrit une trajectoire rectiligne : ses positions successives sont alignées.

Exemple 2. Une cabine de grande roue, ou la valve d'une roue de vélo vue dans le référentiel de l'axe, décrit une trajectoire circulaire : ses positions successives forment un cercle.

Les trois formes de trajectoire

On classe les trajectoires selon leur forme géométrique :

• rectiligne : les positions successives sont alignées (une droite) ;
• circulaire : les positions successives décrivent un cercle ou un arc de cercle ;
• curviligne : les positions successives décrivent une courbe quelconque, ni droite ni cercle.

Le mot « curviligne » est le cas général de la courbe : la trajectoire d'un ballon lancé en l'air, par exemple, est curviligne.

Le piège de la trajectoire qui dépend du référentiel

La trajectoire, comme le mouvement lui-même, dépend du référentiel choisi. Salma regarde un schéma où l'on a dessiné la trajectoire de la valve d'une roue de vélo et conclut : « la valve tourne en rond, sa trajectoire est un cercle, c'est tout. » Elle lit mal la figure : tout dépend du référentiel. Dans le référentiel de l'axe de la roue, la valve décrit bien un cercle. Mais dans le référentiel terrestre (le sol), tandis que le vélo avance, la valve décrit une courbe ondulée appelée cycloïde — ni cercle, ni droite. Une seule et même valve, deux trajectoires différentes selon l'observateur. Quand on te donne une trajectoire, demande-toi toujours : dans quel référentiel ?

La vitesse

Savoir où passe un objet ne dit pas à quelle allure il s'y déplace. Pour cela, on a besoin de la vitesse : une grandeur qui relie la distance parcourue à la durée mise pour la parcourir. Tu en as une intuition depuis la 4ᵉ ; on la rend ici précise et on lui donne, en fin de leçon, sa forme la plus complète.

Le symbole $\mathrm{\Delta }t$ (lire « delta té ») désigne une durée, c'est-à-dire un écart entre deux instants : $\mathrm{\Delta }t=t_{\text{fin}}-t_{\text{d}\acute{\text{e}}\text{but}}$. La vitesse moyenne répond à : « en moyenne, combien de mètres par seconde le point a-t-il avalés ? »

Exemple 1. Le train Al Boraq parcourt $d=320\text{ km}$ entre Casablanca et Tanger en $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{2,0}\text{ h}$. Sa vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{320}{\mathrm{2,0}}}=160\text{ km/h}\mathrm{.}$

Exemple 2. Amine marche $150\text{ m}$ pour rejoindre la station de tramway en $\mathrm{\Delta }t=120\text{ s}$. Sa vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{150}{120}}=\mathrm{1,25}\text{ m/s}\mathrm{.}$

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

La vitesse moyenne lisse tout le trajet en un seul nombre. Mais sur l'autoroute Rabat-Casablanca, une voiture accélère, freine aux péages, reprend de la vitesse : à chaque instant, son compteur affiche une valeur différente. C'est la vitesse instantanée.

C'est la vitesse instantanée qu'indique le compteur d'une voiture. La vitesse moyenne, elle, ne se lit pas sur le compteur : elle se calcule sur l'ensemble du trajet. En classes préparatoires, tu verras que faire tendre $\mathrm{\Delta }t$ vers zéro mène à la dérivée de la position par rapport au temps — mais l'idée intuitive est déjà tout entière ici.

Le piège de la conversion m/s ↔ km/h

Les deux unités courantes, le m/s et le km/h, ne se valent pas, et on attend de toi de passer de l'une à l'autre sans erreur. Le raisonnement repose sur $1\text{ km}=1000\text{ m}$ et $1\text{ h}=3600\text{ s}$ :

$1\text{ m/s}={\displaystyle \frac{1\text{ m}}{1\text{ s}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,001}\text{ km}}{{\displaystyle \frac{1}{3600}}\text{ h}}}=\mathrm{3,6}\text{ km/h}\mathrm{.}$

D'où la règle pratique :

• des m/s vers les km/h : on multiplie par $\mathrm{3,6}$ ;
• des km/h vers les m/s : on divise par $\mathrm{3,6}$.

Exemple 3. La vitesse d'Amine, $\mathrm{1,25}\text{ m/s}$, vaut en km/h : $\mathrm{1,25}\times \mathrm{3,6}=\mathrm{4,5}\text{ km/h}\mathrm{.}$ La vitesse du train, $160\text{ km/h}$, vaut en m/s : ${\displaystyle \frac{160}{\mathrm{3,6}}}\approx \mathrm{44,4}\text{ m/s}\mathrm{.}$

Le vecteur vitesse

Annoncer « la voiture roule à $90\text{ km/h}$ » ne dit pas où elle va : vers Rabat ou vers Casablanca ? Une vitesse complète, en physique, ne se résume pas à un nombre : elle a aussi une orientation. On la représente alors par une flèche, le vecteur vitesse, noté $\vec{v}$.

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire et pointe dans le sens du mouvement. Sur une trajectoire rectiligne, il garde la même direction ; sur une trajectoire circulaire, sa direction change sans cesse, même si sa valeur reste constante.

Exemple 4. Deux voitures roulent à $90\text{ km/h}$ sur l'autoroute, l'une vers Rabat, l'autre vers Casablanca. Leurs vitesses ont la même valeur et la même direction (l'axe de l'autoroute), mais des sens opposés : leurs vecteurs vitesse $\vec{v}$ sont des flèches de même longueur pointant dans des directions inverses. La grandeur $90\text{ km/h}$ ne suffisait pas à les distinguer ; le vecteur, lui, le fait.

Les mouvements particuliers

On dispose désormais de deux informations sur un mouvement : la forme de sa trajectoire (leçon 2) et la façon dont sa vitesse évolue (leçon 3). En les croisant, on classe les mouvements et on leur donne un nom précis. Commençons par l'évolution de la vitesse au cours du temps.

Attention : ces trois mots ne décrivent que la valeur de la vitesse. Ils ne disent rien sur la forme de la trajectoire. C'est en combinant les deux qu'on obtient le nom complet du mouvement.

Exemple 1. Le train Al Boraq, lancé à $320\text{ km/h}$ constants sur une portion droite, est en mouvement rectiligne uniforme : trajectoire droite, vitesse constante.

Exemple 2. Une voiture qui démarre au feu sur une route droite à Casablanca est en mouvement rectiligne accéléré : sa trajectoire est droite, mais sa vitesse augmente.

Combiner forme de trajectoire et évolution de la vitesse

Le nom complet d'un mouvement associe un adjectif de forme (rectiligne, circulaire, curviligne) et un adjectif d'évolution (uniforme, accéléré, ralenti) :

• rectiligne uniforme : droite, vitesse constante (le train lancé à vitesse fixe) ;
• rectiligne accéléré / rectiligne ralenti : droite, vitesse qui augmente / diminue (démarrage ; freinage avant un péage) ;
• circulaire uniforme : cercle, valeur de vitesse constante (une cabine de grande roue à régime stabilisé) ;
• circulaire accéléré, etc.

Le piège du mouvement circulaire uniforme

Voici l'erreur la plus subtile du chapitre, et Karim tombe dedans : « la cabine de la grande roue tourne à vitesse constante, donc son vecteur vitesse est constant. » C'est faux. Dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est bien constante — mais le vecteur vitesse $\vec{v}$, lui, change en permanence ! Pourquoi ? Parce que sa direction change à chaque instant : le vecteur reste tangent au cercle, donc il pivote sans cesse. Or un vecteur change dès que l'un de ses trois éléments change — valeur, direction ou sens. « Vitesse constante » (la valeur, un nombre) n'est pas « vecteur vitesse constant » (les trois éléments à la fois). Cette distinction, anodine ici, deviendra capitale au chapitre 12 : si le vecteur vitesse change, c'est qu'une force agit, même quand la valeur de la vitesse ne bouge pas. En classes préparatoires, ce changement de direction du vecteur vitesse portera un nom — l'accélération centripète.

Pièges classiques

1. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel. Dire « le sac bouge » ou « le sac est immobile » n'a pas de sens tant qu'on ne dit pas par rapport à quoi. Le mouvement est relatif : précise toujours le référentiel (le plus souvent terrestre en seconde).

2. Croire que l'immobilité est absolue. Un objet posé dans le tramway est immobile dans le référentiel du tramway, mais en mouvement dans le référentiel terrestre. Aucune des deux descriptions n'est « plus vraie » que l'autre.

3. Oublier que la trajectoire dépend du référentiel. La valve d'une roue de vélo décrit un cercle dans le référentiel de l'axe, mais une cycloïde dans le référentiel terrestre. Avant de nommer une trajectoire, fixe le référentiel.

4. Se tromper de sens dans la conversion m/s ↔ km/h. On multiplie par $\mathrm{3,6}$ pour passer des m/s aux km/h, on divise par $\mathrm{3,6}$ pour l'inverse. En cas de doute, un test de bon sens : $1\text{ m/s}$ est une marche lente, soit $\mathrm{3,6}\text{ km/h}$ — un petit nombre en m/s donne un nombre plus grand en km/h.

5. Confondre vitesse (un nombre) et vecteur vitesse (une flèche). La vitesse est une valeur ; le vecteur vitesse $\vec{v}$ contient en plus une direction et un sens. Deux voitures à $90\text{ km/h}$ en sens inverse ont la même vitesse mais des vecteurs vitesse différents.

6. Croire que « vitesse constante » signifie « vecteur vitesse constant ». Dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est constante, mais le vecteur vitesse change car sa direction tourne sans cesse. Un vecteur est constant seulement si sa valeur, sa direction et son sens le sont tous les trois.

Application concrète

Yasmine prend le tramway de Casablanca pour aller à la faculté. Curieuse, elle décide de décrire son trajet en physicienne, du départ à l'arrivée, en mobilisant tout ce qu'elle vient d'apprendre. Elle note ses observations sur son carnet.

Étape 1 — Choisir système et référentiel. Yasmine choisit pour système la rame de tramway (assimilée à un point pour simplifier), et pour référentiel le sol de Casablanca : le référentiel terrestre. C'est par rapport aux rails, aux quais et aux immeubles qu'elle décrira le mouvement. Elle note au passage que, dans le référentiel de la rame, elle-même et son sac sont immobiles — mais ce n'est pas ce référentiel-là qui l'intéresse.

Étape 2 — Identifier la trajectoire. La ligne de tramway suit une longue avenue rectiligne sur le tronçon qu'elle observe. Les positions successives de la rame sont alignées : la trajectoire est rectiligne dans le référentiel terrestre. Yasmine se garde de la dire « circulaire » sous prétexte que la rame tournera plus loin : sur la portion étudiée, elle est bien rectiligne.

Étape 3 — Calculer la vitesse moyenne. Entre deux stations, Yasmine relève une distance $d=\mathrm{1,2}\text{ km}=1200\text{ m}$ parcourue en une durée $\mathrm{\Delta }t=96\text{ s}$. Elle applique la définition : $v={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{1200}{96}}=\mathrm{12,5}\text{ m/s}\mathrm{.}$

Étape 4 — Convertir et interpréter. Pour comparer à l'affichage habituel, elle convertit en km/h en multipliant par $\mathrm{3,6}$ : $v=\mathrm{12,5}\times \mathrm{3,6}=45\text{ km/h}\mathrm{.}$ Cette valeur est une vitesse moyenne sur le tronçon : la rame a en réalité accéléré au départ de la première station, roulé presque à vitesse constante, puis ralenti à l'approche de la seconde. Sa vitesse instantanée a donc varié, même si la moyenne vaut $45\text{ km/h}$.

Étape 5 — Nommer le mouvement et tracer le vecteur vitesse. Sur la phase centrale, où la rame roule à allure quasi constante en ligne droite, le mouvement est rectiligne uniforme. Yasmine dessine le vecteur vitesse $\vec{v}$ : une flèche portée par l'axe des rails (direction), pointant vers l'avant de la rame (sens), de longueur proportionnelle à $45\text{ km/h}$ (valeur). À la phase de freinage, la flèche garde la même direction et le même sens, mais raccourcit : le mouvement devient rectiligne ralenti.

Conclusion. En cinq étapes, Yasmine a décrit complètement le mouvement du tramway : système et référentiel fixés, trajectoire identifiée, vitesse moyenne calculée et convertie, mouvement nommé et vecteur vitesse tracé. Elle n'a pas encore cherché pourquoi la rame accélère ou ralentit — c'est l'affaire du chapitre 11 sur les forces et du chapitre 12 sur le principe d'inertie, où l'on reliera les variations du vecteur vitesse aux forces appliquées. En classes préparatoires, cette même description deviendra vectorielle de bout en bout : position, vitesse et accélération seront des vecteurs reliés par dérivation. Décrire d'abord, expliquer ensuite : Yasmine vient de franchir la première marche.

À retenir