Le second degré — exercices corrigés

Parmi les expressions suivantes, laquelle est un trinôme du second degré ?

On considère le trinôme $f(x)=-3x^2+5x-2$. Quels sont ses coefficients $a$, $b$ et $c$ ?

On considère $f(x)=x^2-6x+1$. Calcule l'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole, donnée par $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

La parabole d'équation $f(x)=-2x^2+3x+1$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas, et son sommet est-il un minimum ou un maximum ?

Calcule le discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ du trinôme $x^2-5x+6$.

Une équation du second degré a un discriminant $\mathrm{\Delta }=-7$. Combien a-t-elle de solutions réelles ?

Si le discriminant d'une équation du second degré est nul, alors la parabole touche l'axe horizontal en un seul point.

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Le nombre $2$ est-il une racine du trinôme $f(x)=x^2-3x+2$ ?

Le trinôme $x^2-5x+6$ a deux racines. Sans les calculer, donne leur somme $S=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$.

Le trinôme $x^2-5x+6$ a deux racines. Donne leur produit $P={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Un trinôme a pour coefficient dominant $a=3$ et pour racines $x_1=-1$ et $x_2=4$. Quelle est sa forme factorisée ?

Le trinôme $f(x)=x^2-5x+6$ a pour racines $2$ et $3$, et $a=1>0$. Quel est le signe de $f(x)$ pour $x=10$ (à l'extérieur des racines) ?

Soit $f(x)=x^2-5x+6$, de racines $2$ et $3$, avec $a=1>0$. On affirme : « entre les racines, c'est-à-dire pour $2<x<3$, le trinôme est négatif. »

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Le trinôme $g(x)=-x^2+4x-3$ a pour racines $1$ et $3$, et $a=-1$. Quel est le signe de $g(x)$ à l'extérieur des racines (par exemple en $x=0$) ?

On résout $x^2-5x+6\le 0$. Le trinôme a pour racines $2$ et $3$, avec $a>0$. Quel est l'ensemble des solutions ?

On résout $x^2-5x+6>0$ (trinôme de racines $2$ et $3$, $a>0$). On affirme : « la solution est $]-\mathrm{\infty };2[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[$, avec des bornes ouvertes. »

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Pour $f(x)=x^2-6x+5$, l'abscisse du sommet est $\alpha =3$. Calcule l'ordonnée du sommet $\beta =f(\alpha )$.

La forme canonique d'un trinôme est $f(x)=2(x+3{)}^2-5$. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

On affirme : « si $\mathrm{\Delta }>0$, alors l'équation $a{x}^2+bx+c=0$ admet exactement deux solutions réelles distinctes. »

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

L'équation $4x^2-12x+9=0$ a un discriminant nul. Donne sa racine double $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ sous forme a/b irréductible.

Quelle est la forme canonique du trinôme $f(x)=x^2-4x+7$ ?

Résous l'équation $2x^2-3x-2=0$. Quel est son ensemble de solutions ?

Calcule le discriminant du trinôme $-2x^2+5x+3$.

Factorise le trinôme $3x^2-12x+9$.

Le trinôme $x^2-7x+12$ a deux racines entières. En utilisant la somme $S=7$ et le produit $P=12$, quelles sont ces racines ?

On étudie le signe de $f(x)=-x^2+x+6$, dont les racines sont $-2$ et $3$. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x)>0$ ?

Résous l'inéquation $x^2+3\ge 4x$.

L'équation $3x^2-2x-1=0$ a deux racines. L'une vaut $1$. Donne l'autre racine sous forme a/b irréductible.

La recette de Yasmine au souk de Marrakech est $R(x)=-2x^2+40x$, où $x$ est le prix d'un verre en dirhams. À quel prix $x$ (en dh) la recette est-elle maximale ?

Le trinôme $x^2-8x+16$ a un discriminant nul. Quelle est sa forme factorisée ?

Amine clôture un parterre rectangulaire à Fès avec $30$ m de bordure. Si $x$ est la largeur, l'aire est $A(x)=x(15-x)$. Quelle est l'aire maximale possible (en m²) ?

Résous $3x^2-12x=0$. Quel est l'ensemble des solutions ?

Karim calcule le discriminant de $x^2-3x-4$ ainsi : « $\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-4\times 1\times 4=9-16=-7$, donc pas de solution. »

Le raisonnement de Karim est-il correct ?

Quel est le signe du trinôme $f(x)=x^2+x+1$ pour tout $x$ réel ?

Résous $-x^2+2x+3\ge 0$. (Le trinôme a pour racines $-1$ et $3$.)

On affirme que la forme développée de $2(x-1{)}^2+3$ est $2x^2-4x+5$.

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Salma affirme que $2$ et $5$ sont les racines du trinôme $x^2-7x+10$. Elle vérifie : « somme $=7$, produit $=10$, donc c'est bon. »

Le raisonnement et la conclusion de Salma sont-ils corrects ?

Pour résoudre $-2x^2+8x-6\ge 0$, Yasmine divise les deux membres par $-2$ et écrit $x^2-4x+3\ge 0$, en gardant le même sens d'inégalité.

A-t-elle raison de garder le même sens ?

Quelle est la valeur minimale du trinôme $f(x)=x^2-2x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Amine vend des sachets d'amandes à Meknès. Sa recette journalière, en dirhams, est modélisée par $R(x)=-x^2+14x$, où $x$ est le prix d'un sachet (en dh).

1. Pour quel prix la recette est-elle maximale, et combien vaut-elle ?
2. Amine veut une recette d'au moins $40$ dh. Résous $-x^2+14x\ge 40$ pour trouver la fourchette de prix qui le permet.

Yasmine étudie la trajectoire d'une fontaine au jardin Majorelle, à Marrakech, modélisée par $f(x)=x^2-8x+11$. Pour situer le sommet de la parabole, elle pose : « $\alpha ={\displaystyle \frac{b}{2a}}={\displaystyle \frac{-8}{2}}=-4$, donc le sommet a pour abscisse $(-4)$. »

Le raisonnement de Yasmine est-il correct ?

Amine résout l'équation $2x^2-6x+1=0$. Il calcule le discriminant ainsi : « $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\times 2\times 1$, et comme $b=-6$ est négatif, $b^2=-36$. Donc $\mathrm{\Delta }=-36-8=-44<0$ : l'équation n'a pas de solution. »

Le raisonnement d'Amine est-il correct ?

Karim résout l'inéquation $x^2-7x+10\ge 0$. Il trouve les racines $2$ et $5$, voit que $a=1>0$, puis conclut : « le trinôme est positif à l'extérieur des racines, donc l'ensemble des solutions est $]-\mathrm{\infty };2[\cup ]5;+\mathrm{\infty }[$. »

Le raisonnement de Karim est-il correct ?

Yasmine vend des jus de grenade au souk de Marrakech. Sa recette journalière est $R(x)=-2x^2+40x$ (en dirhams), où $x$ est le prix d'un verre en dh.

1. Détermine le prix optimal et la recette maximale.
2. Yasmine doit couvrir des frais fixes de $150$ dh par jour. Résous $R(x)\ge 150$ pour trouver la fourchette de prix qui lui permet de couvrir ses frais.
3. Interprète le résultat : que se passe-t-il si elle vend trop cher ou trop peu cher ?

Karim factorise $2x^2-10x+12$ et écrit : « les racines sont $2$ et $3$, donc $2x^2-10x+12=(x-2)(x-3)$. »

La factorisation de Karim est-elle correcte ?

Amine lance un ballon depuis le toit d'un immeuble à Rabat. La hauteur du ballon (en mètres) après $t$ secondes est $h(t)=-5t^2+20t+25$.

1. Quelle est la hauteur de départ (à $t=0$) ?
2. À quel instant le ballon atteint-il sa hauteur maximale, et combien vaut cette hauteur ?
3. À quel instant le ballon touche-t-il le sol (hauteur nulle) ?

Pour quelle valeur positive de $m$ l'équation $x^2-6x+m=0$ admet-elle une racine double ?

On cherche les points d'intersection de la parabole $y=x^2-2x+1$ et de la droite $y=x+1$. Combien y a-t-il de points d'intersection ?

Salma étudie le signe de $f(x)=-3x^2+12x-9$ (racines $1$ et $3$). Elle annonce : « à l'extérieur des racines, le trinôme est positif. »

L'affirmation de Salma est-elle correcte ?

Yasmine cherche deux nombres dont la somme est $9$ et le produit $20$. De quel trinôme (unitaire, c'est-à-dire avec $a=1$) ces deux nombres sont-ils les racines, et que valent-ils ?

Résous l'inéquation $(x-1)(x^2-4)\ge 0$. (On pourra étudier le signe de chaque facteur.)

Quelle est la forme canonique du trinôme $f(x)=3x^2+12x+7$ ?

Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2+4x+m=0$ a-t-elle deux solutions réelles distinctes ?

Karim veut clôturer un enclos rectangulaire pour ses moutons près de Beni Mellal, adossé à un long mur. Il dispose de $60$ m de grillage pour les trois côtés non adossés. Il note $x$ la longueur (en m) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprime l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$.
2. Détermine le domaine réaliste de $x$.
3. Trouve la valeur de $x$ qui maximise l'aire, et l'aire maximale correspondante.

Résous l'équation $x^4-5x^2+4=0$ (on posera $X=x^2$). Combien de solutions réelles a-t-elle ?

L'équation $3x^2-x-2=0$ a deux racines. Donne la plus petite sous forme a/b irréductible.

Salma fabrique des bracelets à Essaouira. Si elle produit $x$ bracelets par jour, sa recette est $R(x)=30x$ dirhams et son coût total est $C(x)=x^2+5x+100$ dirhams.

1. Exprime le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ sous forme développée.
2. Pour quelles quantités $x$ Salma réalise-t-elle un bénéfice positif (c'est-à-dire $B(x)>0$) ?
3. Quelle quantité maximise le bénéfice, et combien vaut le bénéfice maximal ?

On affirme : « le trinôme $x^2+2x+5$ est strictement positif pour tout $x$ réel. »

L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Pour quelles valeurs de $x$ la parabole $y=x^2$ est-elle strictement au-dessus de la droite $y=2x-1$ ?

Soit $x_1$ et $x_2$ les racines de $x^2-5x+6=0$. Sans calculer les racines individuellement, détermine la valeur de $x_1^2+x_2^2$.

Karim résout $-x^2+4x-3>0$. Il écrit : « je multiplie par $-1$ pour avoir $x^2-4x+3>0$, dont la solution est $x<1$ ou $x>3$. Donc la solution de l'inéquation de départ est $x<1$ ou $x>3$. »

Le raisonnement de Karim est-il correct ?

Une parabole $f(x)=a{x}^2+bx+c$ a pour sommet $(2;-1)$ et passe par le point $(0;3)$. Quelle est sa forme canonique ?

Résous l'inéquation ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x-1}}\ge 0$ (en n'oubliant pas la valeur interdite).

Une restitution organisée de connaissances (ROC) te demande de démontrer un résultat du cours, de façon rédigée et autonome — c'est un exercice classique du baccalauréat.

Soit un trinôme $a{x}^2+bx+c$ avec $a\mathrm{\ne }0$, et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. En partant de la forme canonique, démontre que lorsque $\mathrm{\Delta }>0$, l'équation $a{x}^2+bx+c=0$ admet exactement deux solutions réelles : $x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\text{et}{x}_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\mathrm{.}$

Justifie chaque étape. Précise aussi, par la même méthode, ce qui se passe lorsque $\mathrm{\Delta }=0$ puis lorsque $\mathrm{\Delta }<0$.