Probabilités conditionnelles et indépendance — exercices corrigés

Comment se lit la notation $P_B(A)$ ?

Quelle est la formule de définition de la probabilité conditionnelle $P_B(A)$, pour $P(B)\mathrm{\ne }0$ ?

Dans une classe d'un lycée de Rabat, on a $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Calcule $P_B(A)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Sachant que la carte tirée est un cœur (il y a $8$ cœurs), quelle est la probabilité que ce soit la dame de cœur ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Sur un arbre pondéré, depuis un nœud partent deux branches. L'une porte la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. Quelle est la probabilité portée par l'autre branche ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Sur un arbre pondéré, un chemin est formé de deux branches successives portant les probabilités ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ puis ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Quelle est la probabilité de ce chemin ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Quelle égalité caractérise l'indépendance de deux événements $A$ et $B$ ?

On donne $P(A)={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $P(B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Les lancers sont indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir « pile » aux deux lancers ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré deux fois de suite, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir un $6$ aux deux lancers ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Pour tous événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, on a toujours $P_B(A)=P_A(B)$. Vrai ou faux ?

« Deux événements indépendants sont nécessairement incompatibles. » Vrai ou faux ?

Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en additionnant les probabilités des branches qui le composent. Vrai ou faux ?

Une urne contient $4$ jetons verts et $3$ jetons rouges, soit $7$ jetons. On en tire un, on le garde, puis on en tire un second (tirage sans remise). Sachant que le premier jeton tiré est vert, quelle est la probabilité que le second soit vert aussi ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On donne $P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $P_B(A)={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Calcule $P(A\cap B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Pour tout événement $B$ de probabilité non nulle et différente de $1$, quel couple d'événements forme toujours une partition de l'univers $\mathrm{\Omega }$ ?

Pour une succession d'épreuves indépendantes, quel est le contraire de l'événement « obtenir au moins un succès » ?

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=\mathrm{0,3}$ et $P(B)=\mathrm{0,4}$. Calcule $P(A\cap B)$.

Un événement $A$ peut se produire par deux routes incompatibles $B$ et $\bar{B}$. On donne $P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$ et $P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,3}$. Calcule $P(A)$ par la formule des probabilités totales.

Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants avec $P(B)\mathrm{\ne }0$, à quoi est égale $P_B(A)$ ?

Dans un lycée de Tanger, on interroge $200$ élèves. Parmi eux, $120$ font de l'anglais (L), et $90$ font à la fois de l'anglais et de l'espagnol (L ∩ E). On choisit un élève au hasard. Sachant qu'il fait de l'anglais, quelle est la probabilité qu'il fasse aussi de l'espagnol ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $3$ jetons verts et $2$ jetons rouges. On tire deux jetons successivement sans remise. À l'aide d'un arbre pondéré, calcule la probabilité de tirer deux jetons verts. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une coopérative près d'Agadir s'approvisionne auprès de deux ateliers. L'atelier $1$ fournit $60\mathrm{\%}$ des bidons d'huile d'argan, l'atelier $2$ les $40\mathrm{\%}$ restants. Parmi les bidons de l'atelier $1$, $5\mathrm{\%}$ sont non conformes ; pour l'atelier $2$, $8\mathrm{\%}$. On prend un bidon au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit non conforme ?

Amine joue $3$ parties à un stand du souk de Marrakech. À chaque partie, il gagne avec probabilité $\mathrm{0,2}$, indépendamment des autres. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois ? Passe par l'événement contraire.

On lance un dé équilibré. Soit $A$ : « obtenir un nombre pair » $=\{2;4;6\}$ et $B$ : « obtenir un multiple de $3$ » $=\{3;6\}$. Affirmation : « $A$ et $B$ sont indépendants. » Vrai ou faux ?

Dans un jeu de $32$ cartes (qui contient $4$ rois), on tire deux cartes successivement sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux rois ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Deux urnes. L'urne $U_1$ contient $1$ boule blanche et $3$ noires ; l'urne $U_2$ contient $2$ blanches et $2$ noires. On choisit une urne au hasard (équiprobablement), puis on y tire une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $3$ jetons verts et $2$ rouges. On tire deux jetons successivement sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un jeton vert ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Un test détecte une maladie. On sait que $P_{\text{malade}}(\text{positif})=\mathrm{0,99}$ (le test détecte $99\mathrm{\%}$ des malades). Karim affirme : « donc si une personne est testée positive, elle a $99\mathrm{\%}$ de chances d'être malade. » Quelle est l'erreur de Karim ?

Dans un jeu de $32$ cartes (avec $8$ cœurs et $12$ figures : valet, dame, roi de chaque couleur), on tire une carte. Soit $C$ : « la carte est un cœur » et $F$ : « la carte est une figure ». Affirmation : « $C$ et $F$ sont indépendants. » Vrai ou faux ?

On donne $P(A)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ et $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{10}}$. Calcule $P_A(B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

À un stand de la kermesse de Fès, Yasmine gagne une partie avec probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, indépendamment des parties précédentes. Elle joue $3$ parties. Quelle est la probabilité qu'elle perde les trois ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Yasmine va au lycée soit en tramway ($70\mathrm{\%}$ des jours), soit à pied ($30\mathrm{\%}$). En tramway, elle est en retard $1$ fois sur $10$ ($P=\mathrm{0,1}$) ; à pied, $1$ fois sur $5$ ($P=\mathrm{0,2}$). Quelle est la probabilité qu'elle soit en retard un jour donné ?

Une usine a deux machines. La machine $1$ produit $80\mathrm{\%}$ des pièces avec $2\mathrm{\%}$ de défauts ; la machine $2$ produit $20\mathrm{\%}$ des pièces avec $7\mathrm{\%}$ de défauts. Karim affirme que le taux de défauts global est ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}+\mathrm{0,07}}{2}}=\mathrm{0,045}$. A-t-il raison ? Vrai ou faux ?

On lance un dé équilibré $3$ fois de suite, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un $6$ ? Passe par le contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=\mathrm{0,6}$ et $P(B)=\mathrm{0,5}$. Que vaut $P(A\cup B)$ ?

Reprends la coopérative d'Agadir : atelier $1$ ($60\mathrm{\%}$ des bidons, $5\mathrm{\%}$ non conformes), atelier $2$ ($40\mathrm{\%}$, $8\mathrm{\%}$ non conformes). On a calculé $P(N)=\mathrm{0,062}$ pour « bidon non conforme ». Un bidon prélevé se révèle non conforme. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier $2$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Sur un arbre pondéré, un premier nœud donne $P(B)=\mathrm{0,3}$. Depuis $B$, une branche mène à $A$ avec $P_B(A)=\mathrm{0,4}$. Que représente le produit $\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,12}$ ?

À une tombola d'un lycée de Meknès, Amine achète $2$ tickets parmi $50$, dont $5$ sont gagnants. Il les tire successivement, sans remise. Quelle est la probabilité qu'aucun de ses deux tickets ne soit gagnant ? Détaille ton raisonnement et donne la valeur sous forme de fraction irréductible.

$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=\mathrm{0,4}$ et $P(B)=\mathrm{0,3}$. Calcule $P(A\cap \bar{B})$.

Une urne contient $10$ jetons : $4$ verts et $6$ rouges. Yasmine tire deux jetons successivement et sans remise, et veut la probabilité de tirer deux verts. Karim propose : « à chaque tirage, la probabilité de vert est ${\displaystyle \frac{4}{10}}$, donc la réponse est ${\displaystyle \frac{4}{10}}\times {\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{4}{25}}$. » A-t-il raison ?

Une urne contient $7$ boules : $3$ blanches et $4$ noires. On tire deux boules sans remise. Salma construit son arbre. Depuis le nœud « première boule blanche », elle écrit ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ vers « blanche » et ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ vers « noire ». Elle vérifie : « la somme fait presque $1$, c'est bon. » Où est l'erreur de Salma ?

Dans un lycée de Fès, on sait que $P(\text{interne}\cap \text{boursier})=\mathrm{0,12}$ : $12\mathrm{\%}$ des élèves sont à la fois internes et boursiers. Sachant par ailleurs que $30\mathrm{\%}$ des élèves sont internes, Amine conclut : « donc parmi les internes, $12\mathrm{\%}$ sont boursiers », c'est-à-dire $P_{\text{interne}}(\text{boursier})=\mathrm{0,12}$. A-t-il raison ?

À un contrôle du tramway de Casablanca, une borne « fiable à $95\mathrm{\%}$ » sonne sur $95\mathrm{\%}$ des vrais fraudeurs et sur $5\mathrm{\%}$ des voyageurs en règle. On estime que $4\mathrm{\%}$ des voyageurs fraudent. La borne sonne sur Karim. Quelle est la probabilité qu'il fraude vraiment ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une usine de Casablanca a trois machines. La machine $A$ produit $50\mathrm{\%}$ des pièces avec $3\mathrm{\%}$ de défauts, la machine $B$ produit $30\mathrm{\%}$ avec $4\mathrm{\%}$ de défauts, la machine $C$ produit $20\mathrm{\%}$ avec $7\mathrm{\%}$ de défauts. On prélève une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Reprends l'usine à trois machines : $A$ ($50\mathrm{\%}$, $3\mathrm{\%}$ de défauts), $B$ ($30\mathrm{\%}$, $4\mathrm{\%}$), $C$ ($20\mathrm{\%}$, $7\mathrm{\%}$), avec $P(D)=\mathrm{0,043}$ pour « pièce défectueuse ». Une pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $C$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une urne contient $4$ boules blanches et $2$ noires. On tire trois boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité de tirer trois boules blanches ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Dans une région, $30\mathrm{\%}$ de la population a reçu un certain vaccin. Parmi les vaccinés, $2\mathrm{\%}$ tombent malades durant l'hiver ; parmi les non-vaccinés, $10\mathrm{\%}$ tombent malades. On choisit un habitant au hasard.

1. Quelle est la probabilité qu'il tombe malade ?
2. Sachant qu'il est tombé malade, quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ?

Détaille ton raisonnement.

On lance un dé équilibré $4$ fois de suite, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un $6$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

On lance un dé équilibré. Soit $A$ : « obtenir un nombre $⩽4$ » $=\{1;2;3;4\}$ et $B$ : « obtenir un nombre pair » $=\{2;4;6\}$. Affirmation : « $A$ et $B$ sont indépendants. » Vrai ou faux ?

On sait que $P(B)={\displaystyle \frac{2}{5}}$, $P_B(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Calcule $P_A(B)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

À la kermesse de son lycée à Oujda, Amine hésite entre deux stands. Au stand A, il gagne avec probabilité $\mathrm{0,4}$ ; au stand B, avec probabilité $\mathrm{0,25}$. Il choisit le stand A avec probabilité $\mathrm{0,6}$ et le stand B avec probabilité $\mathrm{0,4}$, puis joue une partie.

1. Quelle est la probabilité qu'Amine gagne ?
2. Sachant qu'il a gagné, quelle est la probabilité qu'il ait joué au stand B ?

Détaille.

Dans un jeu de $32$ cartes (avec $4$ as), on tire $2$ cartes successivement sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as ? Passe par le contraire. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Soit $A$ et $B$ deux événements incompatibles, avec $P(A)>0$ et $P(B)>0$. Affirmation : « $A$ et $B$ sont nécessairement dépendants. » Vrai ou faux ?

Un événement $A$ peut survenir via la partition $\{B,\bar{B}\}$. On sait que $P(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P_B(A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Calcule $P_{\bar{B}}(A)$. Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Un panneau solaire installé près d'Ouarzazate possède deux composants indépendants. Le composant $1$ fonctionne avec probabilité $\mathrm{0,9}$, le composant $2$ avec probabilité $\mathrm{0,4}$. Le panneau produit de l'électricité dès qu'au moins un des deux composants fonctionne. Quelle est la probabilité que le panneau produise de l'électricité ?

Deux sacs. Le sac $S_1$ contient $2$ billes rouges et $3$ bleues ; le sac $S_2$ contient $4$ rouges et $1$ bleue. On choisit un sac au hasard (équiprobablement) et on y tire une bille. Sachant que la bille tirée est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne du sac $S_1$ ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Une maladie touche $1\mathrm{\%}$ d'une population. Un test donne un résultat positif sur $90\mathrm{\%}$ des malades et sur $20\mathrm{\%}$ des bien-portants. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

On lance une pièce équilibrée $3$ fois de suite, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ « pile » ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=\mathrm{0,5}$ et $P(B)=\mathrm{0,2}$. Que vaut $P_B(A)$ ?

Une coopérative de dattes de Zagora teste ses cageots. Un cageot est « bon » avec probabilité $\mathrm{0,8}$ et « défectueux » avec probabilité $\mathrm{0,2}$. Un contrôle automatique accepte un cageot bon dans $95\mathrm{\%}$ des cas, et accepte par erreur un cageot défectueux dans $30\mathrm{\%}$ des cas.

1. Quelle est la probabilité qu'un cageot soit accepté ?
2. Sachant qu'un cageot a été accepté, quelle est la probabilité qu'il soit réellement défectueux ?

Détaille ton raisonnement.

Une urne contient $2$ jetons verts et $4$ jetons rouges. On tire un jeton ; s'il est vert, on le remet et on ajoute un vert supplémentaire (l'urne contient alors $3$ verts et $4$ rouges) ; s'il est rouge, on ne change rien. On tire ensuite un second jeton. Quelle est la probabilité que le second jeton soit vert ? Donne le résultat sous forme a/b irréductible.

Dans une ville, $40\mathrm{\%}$ des habitants prennent le bus (B), les autres non. Parmi les usagers du bus, $30\mathrm{\%}$ ont une carte d'abonnement (C) ; parmi les non-usagers, aucun n'en a. On choisit un habitant au hasard. Sachant qu'il a une carte d'abonnement, quelle est la probabilité qu'il prenne le bus ?