Le théorème de Thalès et sa réciproque — exercices corrigés

Dans une figure, $A$ est un point, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Quel est le sommet commun de la configuration de Thalès ?

Dans un triangle $ABC$, on place $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$. Le théorème de Thalès s'applique si et seulement si :

On affirme : « Dans la configuration de Thalès, les trois droites $(AB)$, $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. »

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), quelle égalité est l'écriture canonique du théorème ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on affirme : « ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$. »

Dans une configuration de Thalès, $AM=3$ cm et $AB=6$ cm. Calcule le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$.

À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?

Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès et conclure que $(MN)\parallel (BC)$, il suffit de vérifier que ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$.

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $AC=8$ cm. Calcule $AN$ en cm.

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $BC=15$ cm. Calcule $MN$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), quels sont les deux points intermédiaires — ceux qui se trouvent entre le sommet commun et les extrémités ?

Dans la configuration de Thalès, le théorème énonce ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}=?$. Quel est le troisième rapport ?

Pour appliquer le théorème de Thalès direct (celui qui calcule des longueurs), de quelle hypothèse pars-tu ?

Dans le rapport de Thalès ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$, que représente le dénominateur $AB$ ?

Karim affirme : « Dès que je vois deux droites parallèles dans une figure, je peux appliquer le théorème de Thalès. »

Dans la configuration de Thalès standard ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$), on affirme : « Le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ est toujours strictement inférieur à $1$. »

Salma mesure $AM=4$ cm et $AB=\mathrm{0,1}$ m, puis écrit ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,1}}}=40$. On affirme : « Le calcul de Salma est correct. »

Dans une configuration de Thalès, $AM=2$ cm et $AB=8$ cm. Calcule le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$.

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $AN=5$ cm. Calcule $AC$ en cm.

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $MN=14$ cm. Calcule $BC$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=4$ cm, $AB=12$ cm et $AC=18$ cm. Calcule $AN$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=4$ cm, $MB=6$ cm et $AN=6$ cm. Calcule $NC$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=6$ cm, $AB=9$ cm et $BC=12$ cm. Calcule $MN$ en cm.

Dans la configuration de Thalès, $AM=3$, $MB=6$, $AN=2$, $NC=4$. Yasmine écrit ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$, soit ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{2}{4}}$. Elle conclut que $(MN)\parallel (BC)$. Qu'en penses-tu ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$) avec $AM=5$, $AB=15$ et $AN=3$, Amine affirme que $AC=9$. A-t-il raison ?

On donne $AM=6$, $AB=10$, $AN=9$, $AC=15$, avec $A$, $M$, $B$ alignés dans cet ordre et $A$, $N$, $C$ alignés dans cet ordre. Karim affirme que $(MN)\parallel (BC)$ car ${\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{9}{15}}$. A-t-il raison ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AN=4$ cm, $AC=10$ cm et $AB=15$ cm. Quelle est la valeur de $AM$ ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=6$ cm, $AN=8$ cm et $AC=12$ cm. Calcule $MB$ en cm.

Dans la configuration de Thalès avec $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$, Salma affirme que $MN$ peut être plus grand que $BC$. A-t-elle raison ?

Un piquet de $\mathrm{1,5}$ m de haut projette une ombre de $1$ m. Au même moment, un minaret projette une ombre de $8$ m. Amine modélise la situation par la configuration de Thalès (rayons du soleil parallèles) et écrit : ${\displaystyle \frac{\text{hauteur piquet}}{\text{ombre piquet}}}={\displaystyle \frac{\text{hauteur minaret}}{\text{ombre minaret}}}$. Quelle est la hauteur du minaret ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=4$ cm, $AB=6$ cm et $AN=10$ cm. Quelle est la valeur de $AC$ ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=5$ cm, $AB=8$ cm et $MN=10$ cm. Quelle est la valeur de $BC$ ?

Tu connais $AM$, $AB$ et $BC$, et tu veux calculer $MN$. Quelle égalité dois-tu écrire pour résoudre en une seule étape ?

À Fès, Yasmine plante un piquet de $\mathrm{1,2}$ m qui projette une ombre de $\mathrm{0,8}$ m. Au même instant, un palmier projette une ombre de $6$ m. En modélisant par la configuration de Thalès (rayons du soleil parallèles), quelle est la hauteur du palmier ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=6$ cm, $MB=2$ cm et $AC=12$ cm. Amine affirme que $AN=9$ cm. A-t-il raison ?

On donne $AM=4$, $AB=10$, $AN=5$, $AC=12$, avec $A$, $M$, $B$ alignés dans cet ordre et $A$, $N$, $C$ alignés dans cet ordre. Salma affirme que $(MN)\parallel (BC)$. A-t-elle raison ?

Dans une configuration de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Karim affirme : « Alors $MN$ vaut les trois cinquièmes de $BC$. »

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=5$ cm, $MB=3$ cm et $AN=\mathrm{7,5}$ cm. Calcule $NC$ en cm.

Le long d'une avenue de Casablanca, une ligne de tramway $(BC)$ est parallèle à une passerelle $(MN)$. Les deux partent d'un même carrefour $A$ : $M\in [AB]$ sur le premier trottoir, $N\in [AC]$ sur le second. Yasmine mesure $AM=30$ m, $AB=50$ m et $MN=18$ m. Quelle est la longueur $BC$ de la portion de tramway ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), Salma affirme : « Puisque ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, alors forcément ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$ aussi. » A-t-elle raison ?

Sur un plan de Rabat, Karim repère deux rues parallèles coupées par une troisième rue, sans aucun point commun aux deux rues parallèles. Il s'écrie : « Deux parallèles, donc c'est une configuration de Thalès ! » A-t-il raison ?

Dans une configuration de Thalès, Amine connaît $AM=5$ cm, $MB=3$ cm et $AN=10$ cm. Pour trouver $NC$, il écrit directement ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$, soit ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{10}{NC}}$. Où est l'erreur ?

Salma sait que $(MN)\parallel (BC)$ dans une configuration de Thalès. Pour le justifier, elle écrit : « D'après la réciproque du théorème de Thalès, comme $(MN)\parallel (BC)$, alors ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. » A-t-elle cité le bon théorème ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=5$ cm, $MB=3$ cm et $BC=12$ cm. Calcule $MN$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=6$ cm, $AB=10$ cm, $AC=15$ cm. Calcule $AN$ en cm.

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=4$, $AB=10$ et $MN=6$. Quelle est la valeur de $BC$ ?

Dans une figure, $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre avec $AM=6$ et $AB=9$. De même, $A$, $N$, $C$ sont alignés dans cet ordre avec $AN=8$ et $AC=12$. Karim affirme que $(MN)\parallel (BC)$. A-t-il raison ? Pourquoi ?

Karim a deux segments pour lesquels ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Il conclut immédiatement que $(MN)\parallel (BC)$, sans vérifier la position des points. A-t-il raison ?

Amine plante un bâton vertical de $2$ m à côté d'un mur. Au même instant, l'ombre du bâton mesure $\mathrm{1,5}$ m et l'ombre du mur mesure $18$ m. En modélisant par la configuration de Thalès (les rayons du soleil sont parallèles), calcule la hauteur du mur en mètres.

La configuration « en X » se présente ainsi : deux droites se coupent en $O$, avec $(AB)\parallel (CD)$, $A$ et $C$ d'un côté de $O$, $B$ et $D$ de l'autre. On affirme que cette configuration obéit au théorème de Thalès avec sommet commun $O$, et que ${\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{OC}{OD}}$.

Salma voit un triangle avec $AM=4$, $MB=8$, $AN=3$, $NC=6$. Elle calcule ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{NC}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis conclut que $(MN)\parallel (BC)$ par la réciproque de Thalès. Qu'en penses-tu ?

Yasmine veut mesurer la hauteur d'un minaret sans y monter. Elle attend un moment de la journée où le soleil est bien orienté et plante verticalement un bâton de $\mathrm{1,8}$ m juste à côté de la base du minaret. Au même instant :

• l'ombre du bâton mesure $\mathrm{1,2}$ m,
• l'ombre du minaret mesure $16$ m.

Modélise la situation par une configuration de Thalès et calcule la hauteur du minaret.

Karim veut mesurer la largeur d'un oued sans le traverser. Il repère un rocher $R$ sur l'autre rive et l'aligne avec un piquet $A$ qu'il plante sur sa rive. Depuis $A$, il longe l'oued sur $15$ m jusqu'en $B$, puis encore $5$ m jusqu'en $C$ (dans le même sens). Depuis $C$, il s'éloigne perpendiculairement à la rive jusqu'en $D$, de façon à ce que $D$, $B$ et $R$ soient bien alignés. Il mesure $CD=6$ m.

Les triangles $DBC$ et $RAB$ sont semblables, avec $B$ comme sommet commun.

Calcule la largeur $AR$ de l'oued en mètres.

Pour mesurer la largeur d'un oued sans le traverser, Amine repère un rocher $R$ sur la rive d'en face, dans l'alignement d'un piquet $A$ planté sur sa rive. Il marche le long de sa rive et plante un second piquet $M$, puis vise un point $N$ sur la droite $(AR)$. Les piquets sont disposés pour que $(MN)\parallel$ à la rive d'en face, avec $A$ comme sommet commun, $M\in [A{R}^{\mathrm{\prime }}]$ et $N\in [AR]$.

Il mesure : $AM=4$ m, $M{R}^{\mathrm{\prime }}=8$ m (où $R^{\mathrm{\prime }}$ est le point de sa rive aligné avec $R$), et $MN=6$ m. Quelle est la largeur $R^{\mathrm{\prime }}R$ de l'oued, en mètres ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on donne $AM=6$ cm, $AB=15$ cm, $BC=20$ cm et $AC=\mathrm{22,5}$ cm. Quelles sont, dans cet ordre, les valeurs de $AN$ et de $MN$ ?

Sur une figure, $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans cet ordre. On mesure $AM=4$ cm, $AB=6$ cm, $AN=5$ cm et $AC=8$ cm. Karim conclut que $(MN)\parallel (BC)$. A-t-il raison ?

Dans un verger près de Meknès, Salma veut connaître la hauteur d'un vieil olivier. Au même instant, elle mesure l'ombre de l'arbre, $9$ m, et l'ombre d'un piquet vertical de $\mathrm{1,4}$ m planté à côté, soit $2$ m. Les rayons du soleil étant parallèles, la situation forme une configuration de Thalès. Quelle est la hauteur de l'olivier, en mètres ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on connaît $AM$, $MB$ et $AN$, et on cherche $NC$. Quelle égalité permet de mener le calcul directement et correctement ?

Dans une configuration de Thalès, Karim a relevé $AM=50$ cm et $AB=2$ m, puis $AN=\mathrm{0,9}$ m. Pour trouver $AC$, il écrit directement ${\displaystyle \frac{50}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}}{AC}}$ sans convertir les unités. Sa mise en équation est-elle correcte ?

Deux segments $[BC]$ et $[DE]$ se croisent en un point $A$, formant une figure en « papillon ». On sait que $B$, $A$, $E$ sont alignés, $C$, $A$, $D$ sont alignés, et que $(BC)\parallel (DE)$ — c'est-à-dire $(AB)$ et $(AC)$ d'un côté, $(AE)$ et $(AD)$ de l'autre, avec $A$ comme sommet commun aux deux triangles opposés par le sommet. On donne $AB=6$ cm, $AC=4$ cm et $AE=9$ cm. Quelle est la longueur $AD$ ?

Yasmine veut estimer la largeur $BC$ d'un immeuble qu'elle ne peut pas approcher. Elle se place en un point $A$, tend le bras et tient une règle verticale $[MN]$ de $14$ cm de large qui masque exactement l'immeuble. Sa main est à $AM=70$ cm de son œil $A$, et l'immeuble est à $AB=56$ m de son œil. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles (toutes deux verticales et perpendiculaires à la visée). Quelle est la largeur $BC$ de l'immeuble, en mètres ?

Dans la configuration de Thalès ($M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$), on a $AM=3$ cm, $AB=12$ cm et $MN=5$ cm. Amine calcule $BC$ et annonce $BC=\mathrm{1,25}$ cm. Sans refaire tout le calcul, comment sais-tu immédiatement qu'il s'est trompé ?

Karim et Amine veulent connaître la largeur d'une gorge dans le Haut Atlas pour estimer la longueur de câble d'une passerelle. Sur leur rive, ils repèrent un gros rocher $R$ tout en bas, sur la rive opposée. Ils plantent un piquet $A$ au bord, exactement dans l'alignement de $R$ vu depuis l'amont. En reculant le long de leur rive, ils placent un piquet $B$ tel que $A$ soit entre eux et le bord, puis un piquet $N$ qui leur permet de viser $R$.

La configuration qu'ils obtiennent est une configuration de Thalès de sommet commun $B$ : $A\in [B{R}^{\mathrm{\prime }}]$ (où $R^{\mathrm{\prime }}$ est le pied du rocher côté gorge, aligné avec $B$, $A$, $R^{\mathrm{\prime }}$), $N\in [BR]$, et $(AN)\parallel (R^{\mathrm{\prime }}R)$. Ils mesurent $BA=5$ m, $A{R}^{\mathrm{\prime }}=15$ m, et la longueur visée $AN=7$ m. Détermine la largeur $R^{\mathrm{\prime }}R$ de la gorge, puis vérifie ton résultat par l'égalité des rapports.